种群共生模型的平衡点，给出具体微分方程

种群共生模型通常可以用 Lotka-Volterra 方程来描述，其一般形式如下：

$$
\begin{aligned}
\frac{dN_1}{dt} &= r_1N_1\left(1-\frac{N_1}{K_1}\right) - \alpha_{12}N_1N_2 \\
\frac{dN_2}{dt} &= r_2N_2\left(1-\frac{N_2}{K_2}\right) - \alpha_{21}N_2N_1
\end{aligned}
$$

其中 $N_1$ 和 $N_2$ 分别表示两个种群的数量，$r_1$ 和 $r_2$ 是它们的自然增长率，$K_1$ 和 $K_2$ 是它们的饱和容量，$\alpha_{12}$ 和 $\alpha_{21}$ 是它们之间的相互作用系数。

平衡点是指当两个种群的数量都不再变化时的状态。即当 $\frac{dN_1}{dt}=0$ 和 $\frac{dN_2}{dt}=0$ 时，$N_1$ 和 $N_2$ 的值就是平衡点。

求解平衡点可以将上述微分方程中的 $\frac{dN_1}{dt}$ 和 $\frac{dN_2}{dt}$ 设为零，得到如下方程组：

$$
\begin{aligned}
r_1N_1\left(1-\frac{N_1}{K_1}\right) - \alpha_{12}N_1N_2 &= 0 \\
r_2N_2\left(1-\frac{N_2}{K_2}\right) - \alpha_{21}N_2N_1 &= 0
\end{aligned}
$$

解出 $N_1$ 和 $N_2$ 即可得到平衡点的坐标。