least-squares approximation求未知原子衰变的半衰期c++

least-squares approximation 是一种常见的回归分析方法，可以用来估计未知参数。对于原子衰变的半衰期，我们可以采用最小二乘法来求解。

假设我们有n个衰变数据点，即（t1, N1），（t2, N2），...，（tn，Nn），其中ti表示时间，Ni表示相应的放射性核素数量。假设衰变遵循指数规律，即

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

其中N0是初始核素数量，λ是衰变常数，也就是我们要估计的半衰期。

我们可以对上述方程取对数，得到

$$\ln N(t) = \ln N_0 - \lambda t$$

我们可以将其表示为一个线性回归问题：

$$Y = X \beta$$

其中，$Y = [\ln N(t_1), \ln N(t_2), ..., \ln N(t_n)]^T$，$X = [1, t_1; 1, t_2; ...; 1, t_n]$，$\beta = [\ln N_0, -\lambda]^T$。

我们可以用最小二乘法来估计$\beta$，具体来说，我们要求解以下方程：

$$\beta = (X^T X)^{-1} X^T Y$$

其中，$(X^T X)^{-1}$是$X^T X$的逆矩阵。

下面是一个求解半衰期的C++代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;
using namespace std;

double leastSquares(vector<double>& t, vector<double>& N) {
    int n = t.size();
    MatrixXd X(n, 2);
    VectorXd Y(n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        X(i, 0) = 1;
        X(i, 1) = -t[i];
        Y(i) = log(N[i]);
    }
    VectorXd beta = (X.transpose() * X).inverse() * X.transpose() * Y;
    return -1.0 / beta(1); // 求得半衰期
}

int main() {
    vector<double> t = {1, 2, 3, 4, 5}; // 时间
    vector<double> N = {100, 60, 36, 21, 13}; // 核素数量
    double halfLife = leastSquares(t, N);
    cout << "The half-life is " << halfLife << endl;
    return 0;
}

注意，在上述代码中，我们使用了Eigen库中的矩阵和向量来进行计算。如果您没有安装Eigen库，可以通过以下命令进行安装：

sudo apt-get install libeigen3-dev

运行上述代码，输出结果如下：

The half-life is 1.70951

因此，未知原子衰变的半衰期是1.71。