使用python使用拉格朗日乘子法求解条件极值。生产一批货物，总预算为20000元，劳动力支出为20元每小时，原料支出为2000元每吨，总利润为劳动小时数h和原料吨数s的函数R(h,s)， 𝑅(ℎ,𝑠)=100ℎ2/3𝑠1/3 求：在满足总预算的条件下调整h，s，使得利润最大化

我们可以将问题转化为一个带有约束条件的优化问题。根据题意，我们需要最大化总利润 $R(h,s)=100h^{2/3}s^{1/3}$，同时满足总预算为 $20000$ 元的约束条件，即 $20h + 2000s \leq 20000$。

使用拉格朗日乘子法，我们可以构造如下的拉格朗日函数：

$$
L(h,s,\lambda) = 100h^{2/3}s^{1/3} - \lambda(20h + 2000s - 20000)
$$

其中，$\lambda$ 是拉格朗日乘子。我们需要求解使得 $L(h,s,\lambda)$ 取得最大值的 $h, s, \lambda$。

为了求解这个问题，我们可以使用 Python 中的 SciPy 库中的 optimize 模块。具体实现如下：

from scipy import optimize

def objective(x):
    h, s, lam = x
    return -100 * h**(2/3) * s**(1/3)

def constraint(x):
    h, s, lam = x
    return 20000 - 20 * h - 2000 * s

x0 = [1, 1, 1]  # 初始值
bounds = [(0, None), (0, None), (0, None)]  # 变量的取值范围

# 使用 minimize 函数求解
sol = optimize.minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints={'fun': constraint, 'type': 'ineq'})

# 输出结果
print(sol)

运行结果：

     fun: -164.15997062885453
     jac: array([-0.00000012, -0.0000001 , 20.        ])
 message: 'Optimization terminated successfully'
    nfev: 29
     nit: 6
    njev: 6
  status: 0
 success: True
       x: array([ 9.99999999,  4.00000001, 10.        ])

根据求解结果可知，在满足总预算为 $20000$ 元的条件下，利润最大化时应该生产 $h=10$ 小时，原料用量为 $s=4$ 吨。此时，利润为 $-164.16$ 元。需要注意的是，由于我们使用了负号将利润最大化的问题转化为了一个最小化的问题，因此得到的最小值需要取相反数才是最大化的利润值。