给定一个地区的n个城市间的距离网，用prim算法或kruskal算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

时间: 2023-05-02 20:00:45 浏览: 250

python最小生成树kruskal与prim算法详解

### Python 最小生成树Kruskal与Prim算法详解 #### 一、引言最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图论中的一个重要概念，对于无向图而言，它指的是图的一个子集，该子集中包含了图的所有顶点，并且所有顶点通过边相互连接形成一个树结构，同时这棵树上的所有边权值之和最小。在实际应用中，最小生成树可以用于解决诸如网络设计、城市规划等实际问题。 #### 二、Kruskal算法详解 **Kruskal算法的基本思想**： 1. **初始化**：将每条边按权重从小到大排序。 2. **选择边**：从权重最小的边开始考虑，如果这条边连接的两个顶点还没有被包含在同一棵树中，则将这条边添加到最小生成树中；否则，跳过这条边，考虑下一条边。 3. **迭代过程**：重复上述步骤，直到最小生成树包含了所有顶点为止。 **Python实现**： ```python class Graph: def __init__(self, maps): self.maps = maps self.nodenum = self.get_nodenum() self.edgenum = self.get_edgenum() def get_nodenum(self): return len(self.maps) def get_edgenum(self): count = 0 for i in range(self.nodenum): for j in range(i): if self.maps[i][j] > 0 and self.maps[i][j] < max_value: count += 1 return count def kruskal(self): res = [] if self.nodenum <= 0 or self.edgenum < self.nodenum - 1: return res edge_list = [] for i in range(self.nodenum): for j in range(i, self.nodenum): if self.maps[i][j] < max_value: edge_list.append([i, j, self.maps[i][j]]) edge_list.sort(key=lambda a: a[2]) group = [[i] for i in range(self.nodenum)] for edge in edge_list: for i in range(len(group)): if edge[0] in group[i]: m = i if edge[1] in group[i]: n = i if m != n: res.append(edge) group[m] = group[m] + group[n] group[n] = [] return res ``` #### 三、Prim算法详解 **Prim算法的基本思想**： 1. **初始化**：将任意一个顶点作为起点，将其标记为已选择（selected_node）。 2. **选择边**：每次从已选择的顶点出发，找到与未选择顶点相连的边中权重最小的边，将这条边添加到最小生成树中，并将这条边所连接的顶点标记为已选择。 3. **迭代过程**：重复上述步骤，直到所有顶点都被标记为已选择为止。 **Python实现**： ```python def prim(self): res = [] if self.nodenum <= 0 or self.edgenum < self.nodenum - 1: return res selected_node = [0] candidate_node = [i for i in range(1, self.nodenum)] while len(candidate_node) > 0: begin, end, minweight = 0, 0, max_value for i in selected_node: for j in candidate_node: if self.maps[i][j] < minweight: minweight = self.maps[i][j] begin = i end = j res.append([begin, end, minweight]) selected_node.append(end) candidate_node.remove(end) return res ``` #### 四、示例代码这里给出一个具体的例子，帮助理解这两种算法的应用。 ```python max_value = 9999 row0 = [0, 7, max_value, max_value, max_value, 5] row1 = [7, 0, 9, max_value, 3, max_value] row2 = [max_value, 9, 0, 6, max_value, max_value] row3 = [max_value, max_value, 6, 0, 8, 10] row4 = [max_value, 3, max_value, 8, 0, 4] row5 = [5, max_value, max_value, 10, 4, 0] maps = [row0, row1, row2, row3, row4, row5] graph = Graph(maps) # Kruskal算法结果 kruskal_result = graph.kruskal() print("Kruskal算法结果:", kruskal_result) # Prim算法结果 prim_result = graph.prim() print("Prim算法结果:", prim_result) ``` #### 五、总结通过上面的介绍和代码实现，我们可以看到Kruskal算法和Prim算法在寻找最小生成树时的不同之处。Kruskal算法基于边来构造最小生成树，而Prim算法则是基于顶点的选择。这两种算法各有优缺点，具体使用哪种取决于具体的应用场景和个人偏好。最小生成树的概念和算法在计算机科学领域有着广泛的应用，了解这些算法不仅能帮助我们解决实际问题，还能提高我们处理复杂数据结构的能力。

题意：给定一个地区的n个城市之间的距离网络，使用Prim或Kruskal算法构建最小生成树，并计算得到的最小生成树的权值。答案：这道题目给定了一个地区n个城市之间的距离网络，让我们使用Prim或Kruskal算法构建最小生成树，并计算得到的最小生成树的权值。Prim算法是一种贪心算法，它按照连通性逐步扩展树，每次选择能够连接树和非树部分的最小边；Kruskal算法也是一种贪心算法，它以边为单位考虑每一步，保证连通性的同时选择具有最小权值的边。这道题目中的算法可使用Prim或Kruskal算法都可以，构建完最小生成树后，再计算各条边权重之和，即是最小生成树的权值。

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给定一个地区的n个城市间的距离网，用prim算法或kruskal算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

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