随着给定一个无向加权图，包含 n 个顶点和 m 条边，设计一个算法来找出一棵最小生成树，也就是将所有的顶点连接在一起，并使得所有的边的权重总和最小。这个问题常用的算法是 Prim 算法或 Kruskal 算法。

是的，Prim算法和Kruskal算法是两种经典的最小生成树算法。

Prim算法是一种贪心算法，从一个起始顶点开始，每次选择与当前生成树集合相邻的最小权重边所连接的顶点加入生成树集合，直到所有顶点都被包含在生成树中。

Kruskal算法也是一种贪心算法，它将所有边按照权重从小到大排序，然后依次考虑每一条边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通块中，那么就将这条边加入最小生成树中。

两种算法的时间复杂度都是O(mlogn)，其中n为顶点数，m为边数。

需要注意的是，Prim算法适合于稠密图，而Kruskal算法适合于稀疏图。

相关问题

随着给定一个无向加权图，包含 n 个顶点和 m 条边，编写一段代码来找出一棵最小生成树

最小生成树算法有多种，其中比较常用的是Prim和Kruskal算法。以下是Prim算法的实现代码。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int to, w;
    Edge(int _to, int _w): to(_to), w(_w) {}
};

int n, m; // n个顶点，m条边
vector<Edge> G[MAXN]; // 邻接表存图
bool vis[MAXN]; // 标记顶点是否已在生成树中
int dist[MAXN]; // 存储当前已经找到的生成树到每个点的最短距离

int prim(int s) { // s为起点
    fill(dist, dist + n, INF); // 初始化距离
    dist[s] = 0;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push({0, s}); // {距离，顶点}，按距离从小到大排序
    int ans = 0; // 最小生成树的权值
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second; // 取出当前距离最小的顶点
        pq.pop();
        if (vis[u]) continue; // 如果已经在生成树中，跳过
        vis[u] = true; // 标记为已访问
        ans += dist[u]; // 更新最小生成树的权值
        for (auto& e : G[u]) { // 遍历u的所有邻接边
            int v = e.to, w = e.w;
            if (!vis[v] && dist[v] > w) { // 如果v未被访问且到u的距离更短
                dist[v] = w;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].emplace_back(v, w); // 加入一条u->v的边
        G[v].emplace_back(u, w); // 加入一条v->u的边
    }
    cout << prim(0) << endl; // 从0号顶点开始构建最小生成树
    return 0;
}

该代码的时间复杂度为O(mlogn)，其中m为边数，n为顶点数。

python给定一个无向加权图，包含 n 个顶点和 m 条边，设计一个算法来找出一棵最小生成树，也就是将所有的顶点连接在一起，并使得所有的边的权重总和最小。

这是经典的最小生成树问题，可以使用 Kruskal 或 Prim 算法来解决。

Kruskal 算法步骤如下：
1. 将所有边按照权重从小到大排序。
2. 初始化一个空的最小生成树集合，然后依次遍历每一条边。
3. 对于每一条边，如果将其加入到最小生成树集合中不会形成环，则将它加入到最小生成树集合中。
4. 最终，最小生成树集合中包含的边即为所求。

Prim 算法步骤如下：
1. 选择任意一个顶点作为起始点。
2. 初始化一个空的最小生成树集合和一个优先队列，将起始点加入到优先队列中。
3. 从优先队列中取出权重最小的边，并将其连接的顶点加入到最小生成树集合中。
4. 将新加入的顶点的所有未被访问的边加入到优先队列中。
5. 重复步骤 3 和 4 直到最小生成树集合中包含了所有顶点。

两种算法的时间复杂度都为 O(mlogm)，其中 m 为图中边的数量。