给定一个带权无向图，如果是连通图，则至少存在一棵最小生成树，有时最小生成树并不唯一。本题就要求你计算最小生成树的总权重，并且判断其是否唯一。 输入格式： 首先第一行给出两个整数：无向图中顶点数 N（≤500）和边数 M。随后 M 行，每行给出一条边的两个端点和权重，格式为“顶点1 顶点2 权重”，其中顶点从 1 到N 编号，权重为正整数。题目保证最小生成树的总权重不会超过 2​30​​。 输出格式： 如果存在最小生成树，首先在第一行输出其总权重，第二行输出“Yes”，如果此树唯一，否则输出“No”。如果树不存在，则首先在第一行输出“No MST”，第二行输出图的连通集个数。 请给出时间复杂度

对于 Kruskal 算法，时间复杂度为 $O(M\log M)$，Prim 算法的时间复杂度为 $O(N^2)$ 或 $O(M\log N)$，其中 $M$ 表示边数，$N$ 表示顶点数。判断最小生成树是否唯一可以使用倍增法或 Tarjan 算法，时间复杂度为 $O(M\log N)$ 或 $O(M+N)$。因此总时间复杂度为 $O(M\log M)$ 或 $O(M\log N + N^2)$。

相关问题

给定一个带权无向图，如果是连通图，则至少存在一棵最小生成树，有时最小生成树并不唯一。本题就要求你计算最小生成树的总权重，并且判断其是否唯一。

### 回答1：
题目要求计算带权无向图的最小生成树的总权重，并判断最小生成树是否唯一。如果图是连通的，则至少存在一棵最小生成树。

最小生成树是指在一个连通的无向图中，选取一些边，使得这些边构成一棵生成树，并且这棵生成树的边权之和最小。

如果最小生成树唯一，则说明在这个图中，选取的边的集合是唯一的，而且这个集合的边权之和最小。如果最小生成树不唯一，则说明在这个图中，存在多个选取的边的集合，使得这些集合的边权之和都是最小的。

因此，我们需要先求出这个图的最小生成树，并计算其边权之和。然后，我们再判断是否存在其他的最小生成树。

求解最小生成树的算法有很多种，比如Kruskal算法和Prim算法等。这里不再赘述。判断最小生成树是否唯一的方法也有很多种，比如比较两个最小生成树的边集是否相同等。

### 回答2：
对于任意一张带权无向图，如果它是连通图，那么最小生成树一定存在。最小生成树是一颗只包含原图所有节点的树，并且这颗树所有边的权值之和最小。

最小生成树并不唯一，即可能存在多颗树，权值和相同，都是最小生成树。如何判断最小生成树是否唯一呢？一个简单的方法是尝试构造两颗不同的最小生成树。如果两颗树边的数目相同且每条边的权值都相同，则说明最小生成树唯一。

计算最小生成树的总权重可使用经典的Prim算法和Kruskal算法。Prim算法从一个点开始，按照某种规则不断加入点和边，最后形成最小生成树。Kruskal算法则通过不断选取当前未被选中的最小边，最终也可以得到最小生成树。两种算法的时间复杂度均为O(ElogE)，其中E为边的数目。

对于稠密图，Prim算法更加高效，因为它只需考虑点周围的边。而对于稀疏图，Kruskal算法则更加高效，因为它只需对边进行排序。

综上所述，对于一张连通的带权无向图，无论采用Prim算法还是Kruskal算法，都可以找到最小生成树并计算出其权值和。并且可以通过构造两颗不同的最小生成树来判断是否唯一。

### 回答3：
最小生成树是指在一个无向连通带权图中，选取一些边连接所有节点，并且花费较小的一种方案，使得图中不形成回路，从而令图变成一棵生成树。在带权无向连通图中，最小生成树是唯一的当且仅当图中每一条边的权值都是唯一的。

在求解最小生成树的过程中，Kruskal算法和Prim算法是最常用且合适的两个算法，它们的时间复杂度均为O(ElogE)。

如果一个带权无向图连通，那么就至少存在一棵最小生成树。此时，我们可以依据Kruskal算法或Prim算法，在图中选择边以建立最小生成树，同时记下每一条被选中的边的权值，最后将它们相加即为最小生成树的权重。而最小生成树并不唯一，因为有可能存在两条或多条边的权值相等，且它们在最小生成树中都可以被选择。此时我们可以依据算法的贪心选择特性，在构建最小生成树的过程中，选择哪一条具有相同权值的边的顺序是会影响到最终的生成树。

因此，我们可以用Kruskal或Prim算法计算最小生成树的总权重，同时在构建最小生成树的过程中，记录下同权边的情况，如果同权边都被选中了，说明最小生成树不唯一。否则最小生成树是唯一的。

用C语言写一个给定一个带权图，用破圈法求其最小生成树的程序

好的，以下是用C语言实现破圈法求带权图最小生成树的程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 20
#define INF 32767

typedef struct {
    int weight; // 边的权值
    int tail; // 边的尾部
    int head; // 边的头部
} Edge;

typedef struct {
    int vertex_num; // 图的顶点数
    int edge_num; // 图的边数
    int edges[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; // 图的邻接矩阵
} Graph;

// 根据输入的顶点数和边数，构建图的邻接矩阵
void buildGraph(Graph *g) {
    int i, j;
    printf("请输入图的顶点数和边数：");
    scanf("%d%d", &g->vertex_num, &g->edge_num);
    for (i = 0; i < g->vertex_num; i++) {
        for (j = 0; j < g->vertex_num; j++) {
            g->edges[i][j] = INF; // 初始化邻接矩阵为无穷大
        }
    }
    for (i = 0; i < g->edge_num; i++) {
        int tail, head, weight;
        printf("请输入第%d条边的起点、终点和权值：", i+1);
        scanf("%d%d%d", &tail, &head, &weight);
        g->edges[tail][head] = weight;
        g->edges[head][tail] = weight; // 无向图要对称存储
    }
}

// 交换两个边
void swap(Edge *e1, Edge *e2) {
    Edge temp;
    temp.weight = e1->weight;
    temp.tail = e1->tail;
    temp.head = e1->head;
    e1->weight = e2->weight;
    e1->tail = e2->tail;
    e1->head = e2->head;
    e2->weight = temp.weight;
    e2->tail = temp.tail;
    e2->head = temp.head;
}

// 对边进行冒泡排序
void bubbleSort(Edge *edges, int edge_num) {
    int i, j;
    for (i = 0; i < edge_num-1; i++) {
        for (j = 0; j < edge_num-i-1; j++) {
            if (edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
                swap(&edges[j], &edges[j+1]);
            }
        }
    }
}

// 破圈法求带权图最小生成树
void kruskal(Graph *g) {
    int i, j, k = 0;
    Edge edges[MAX_VERTEX_NUM*MAX_VERTEX_NUM]; // 存储图中所有边
    Edge mst[MAX_VERTEX_NUM-1]; // 存储最小生成树的边
    int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 存储每个顶点的父节点
    for (i = 0; i < g->vertex_num; i++) {
        parent[i] = -1; // 初始化父节点为-1
        for (j = 0; j < g->vertex_num; j++) {
            if (g->edges[i][j] != INF) {
                edges[k].tail = i;
                edges[k].head = j;
                edges[k].weight = g->edges[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    bubbleSort(edges, g->edge_num); // 对边进行排序
    k = 0;
    for (i = 0; i < g->edge_num; i++) {
        int tail = edges[i].tail;
        int head = edges[i].head;
        int tail_parent = tail;
        int head_parent = head;
        while (parent[tail_parent] != -1) {
            tail_parent = parent[tail_parent];
        }
        while (parent[head_parent] != -1) {
            head_parent = parent[head_parent];
        }
        if (tail_parent != head_parent) { // 如果不在同一个连通分量中，就加入最小生成树
            parent[tail_parent] = head_parent;
            mst[k] = edges[i];
            k++;
            if (k == g->vertex_num-1) { // 边的数量达到顶点数-1，就结束
                break;
            }
        }
    }
    printf("最小生成树的边为：\n");
    for (i = 0; i < k; i++) {
        printf("(%d, %d) weight=%d\n", mst[i].tail, mst[i].head, mst[i].weight);
    }
}

int main() {
    Graph g;
    buildGraph(&g);
    kruskal(&g);
    return 0;
}

该程序中，首先根据输入的顶点数和边数构建图的邻接矩阵，然后使用破圈法求出最小生成树。在破圈法中，先将所有边存储到一个数组中，并对边进行排序，然后从小到大遍历每个边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，就加入最小生成树中，并将它们的连通分量合并。最终输出最小生成树的边。