真空中有一均匀带电球壳，其上总带电量为-q，半径为R。球心处是一点电荷+q。求球壳内、外的场强E分布和电势U分布（选取无限远为零电势点）。

根据高斯定理，球壳内、外的场强E分布都是零。因此，球壳内、外的电势U分布只取决于球心处的电荷和球壳上的总带电量。

对于无限远处的零电势点，球壳内、外的电势U分布可以分别表示为：

球壳内：
U(r) = k * (q / R) * (3R^2 - r^2) / 2

球壳外：
U(r) = k * q / r

其中，k为库仑常量，r为点P到球心的距离。

需要注意的是，由于球壳是一个导体，其内部电场为零，因此球壳内的电势分布是一个二次函数。在球壳内部，电势随着距离的增加而逐渐降低，直到达到最低点（即球心处）。

在球壳外部，电势随着距离的增加而逐渐降低，但是降低的速率比球壳内部快得多，因为球壳外部的电场强度与点电荷+q产生的电场强度相同，都是kq/r^2。因此，球壳外部的电势分布是一个单次函数。

相关问题

真空中，两个均匀带电的同心圆球壳，半径分别为R1、R2 (R1＜R2)，设在内、外球壳的相对面上所带的电量分别为q1、q2，求空间的场强分布及电势分布。

根据高斯定理，对于两个同心球壳的情况，场强分布可以分为三个区域：

1. 球心到R1之间的区域：此区域内没有电荷，场强为零。

2. R1到R2之间的区域：此区域内只有内球壳的电荷q1，根据高斯定理，场强为：

E = k * (q1 / r^2)

其中，r为点P到球心的距离。

3. R2到无穷远的区域：此区域内既有内球壳的电荷q1，也有外球壳的电荷q2，根据高斯定理，场强为：

E = k * ((q1 + q2) / r^2)

其中，r为点P到球心的距离。

对于电势分布，根据电势能的定义，可以得到：

1. 球心到R1之间的区域：此区域内没有电荷，电势为常数，取任意值为0。

2. R1到R2之间的区域：此区域内只有内球壳的电荷q1，根据电势能的定义，电势为：

U = k * q1 / r

其中，r为点P到球心的距离。

3. R2到无穷远的区域：此区域内既有内球壳的电荷q1，也有外球壳的电荷q2，根据电势能的定义，电势为：

U = k * (q1 + q2) / r

其中，r为点P到球心的距离。

需要注意的是，由于同心球壳的电场分布具有对称性，因此可以使用高斯定理快速计算场强分布。而电势分布则需要使用电势能的定义进行计算。

图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2。设无穷远处为电势零点，求该带电系统的场强分布和空腔内任一点的电势。

根据高斯定理，球对于球内部的电场贡献为0，因此球内部的电场强度为0。对于球层外部，我们可以通过高斯定理求出电场强度分布。假设高斯面为半径为r的球面，由于球层带电，球面上存在电荷密度$ρ=\frac{Q}{4πR_2^2}$，其中Q为球层的总电量。由于球层为均匀带电，因此球面上的电场强度为$E=\frac{Q}{4πε_0r^2}$，其中$ε_0$为真空介电常数。由于电场强度是一个矢量，方向为由带电球心指向高斯面上的点。因此，球层外部的电场强度分布为：

$$
E=
\begin{cases}
0 & r < R_1 \\
\frac{Q}{4πε_0r^2} & R_1 < r < R_2 \\
\frac{Q}{4πε_0R_2^2} & r > R_2
\end{cases}
$$

其中，$R_1$和$R_2$分别为球层内表面和外表面的半径。

对于空腔内任一点的电势，可以通过积分求解。假设待求点距离球心的距离为r，由于球层内部电场强度为0，因此我们只需要考虑球层外部电场的贡献。假设球层带电量为Q，空腔内的电势为V，则有：

$$
V = - \int_{\infty}^r E \cdot dr
$$

在r处的电势为无穷远处电势减去r到无穷远处电场积分。因此，空腔内任一点的电势为：

$$
V=
\begin{cases}
0 & r < R_1 \\
\frac{Q}{4πε_0r} - \frac{Q}{4πε_0R_2} & R_1 < r < R_2 \\
\frac{Q}{4πε_0R_2} - \frac{Q}{4πε_0r} & r > R_2
\end{cases}
$$