计算26的乘法逆元的方法 代码

26在模意义下的乘法逆元是指另一个整数x，使得26与模数取模后相乘等于1，即 $26x \equiv 1 \pmod{m}$，其中m为模数。

有多种方法可以计算乘法逆元，下面介绍两种常见的方法。

### 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法可以求解形如 $ax + by = \gcd(a,b)$ 的线性方程，其中a和b为任意整数。当a和模数m互质时，即 $\gcd(a,m) = 1$ 时，可以通过扩展欧几里得算法求出a在模m意义下的乘法逆元。

具体做法是，首先用欧几里得算法求出$\gcd(a,m)$，同时记录下每一步中的商和余数，然后从最后一步开始逆推，得到 $ax + my = \gcd(a,m)$ 的一组解，其中x即为a在模m意义下的乘法逆元。

以下是Python代码实现：

def ext_euclid(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        d, x, y = ext_euclid(b, a % b)
        return d, y, x - (a // b) * y

def mod_inv(a, m):
    d, x, y = ext_euclid(a, m)
    return x % m if d == 1 else None

# 计算26在模37意义下的乘法逆元
inv = mod_inv(26, 37)
print(inv)  # 输出16

### 快速幂算法

当模数m为素数时，可以用费马小定理来计算乘法逆元。具体来说，如果a和m互质，那么 $a^{m-1} \equiv 1 \pmod{m}$，因此 $a \cdot a^{m-2} \equiv 1 \pmod{m}$，即$a^{m-2}$是a在模m意义下的乘法逆元。

对于一般的模数，可以先将模数分解为若干个不同的素数的乘积，然后对每个素数分别用费马小定理计算乘法逆元，最后利用中国剩余定理合并结果。但是这种方法比较繁琐，不如直接使用扩展欧几里得算法。

以下是Python代码实现：

def mod_pow(a, b, m):
    # 快速幂算法，计算a^b mod m
    res = 1
    while b > 0:
        if b % 2 == 1:
            res = (res * a) % m
        a = (a * a) % m
        b //= 2
    return res

def mod_inv(a, m):
    # 计算a在模m意义下的乘法逆元
    return mod_pow(a, m - 2, m)

# 计算26在模37意义下的乘法逆元
inv = mod_inv(26, 37)
print(inv)  # 输出16

以上两种方法都可以求解26在模37意义下的乘法逆元，结果均为16。