根号(cosθ的平方加1)分之cosθ的不定积分，并且写上解题过程

这是一个比较典型的三角函数积分，可以通过换元法求解。

我们令u = cosθ，那么du = -sinθ dθ，于是原式可以变为：

∫(根号(cosθ的平方加1)/cosθ) dθ = -∫(根号(u的平方+1)/u) du

接下来，我们可以通过有理化的方式将被积函数中的根号去掉，具体过程如下：

- 将被积函数乘以(根号(u的平方+1)+u)/(根号(u的平方+1)+u)，得到：

∫(根号(u的平方+1)/u) du + ∫du/(u根号(u的平方+1))

- 对第二个积分进行换元，令v = u的平方+1，那么dv = 2u du，于是有：

∫du/(u根号(u的平方+1)) = (1/2)∫dv/v^(1/2) = v^(1/2) + C = (u的平方+1)^(1/2) + C

综上所述，原式的解为：

-∫(根号(u的平方+1)/u) du + (u的平方+1)^(1/2) + C

将u = cosθ代入，并且把负号放到最前面，得到最终答案：

-∫(根号(cosθ的平方+1)/cosθ) dθ = -ln|cosθ+(cosθ的平方+1)^(1/2)| + (cosθ的平方+1)^(1/2) + C