尝试推导AES的列混合操作转化为矩阵乘法 b(x)=a(x)*c(x) mod x4+1, c(x)= 03x3+01x2+01x+02

在AES的列混淆操作中，输入状态矩阵的每一列都需要与一个固定矩阵G进行矩阵乘法运算，得到一个新的列。这个固定矩阵G可以通过一个特定的矩阵C进行计算，即G=C×S，其中S是一个固定的矩阵，其元素的值是固定的。

具体来说，矩阵C的每一列都是一个多项式，可以表示为：

c(x) = 03x^3 + 01x^2 + 01x + 02

对于输入状态矩阵的每一列，可以将其看作一个4次多项式，即：

a(x) = a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0

将a(x)表示为一个列向量：

a(x) = [a3, a2, a1, a0]T

同样，将c(x)表示为一个列向量：

c(x) = [03, 01, 01, 02]T

则输入状态矩阵的每一列与固定矩阵G之间的矩阵乘法可以表示为：

b(x) = a(x) × G = a(x) × (C × S) = (a(x) × C) × S

将a(x) × C表示为一个列向量：

d(x) = [d3, d2, d1, d0]T = a(x) × C

则有：

b(x) = d(x) × S

其中S是一个固定的矩阵，可以表示为：

S = [02, 03, 01, 01;
01, 02, 03, 01;
01, 01, 02, 03;
03, 01, 01, 02]

将d(x)表示为一个列向量：

d(x) = [d3, d2, d1, d0]T

则有：

b(x) = [02d3 + 03d2 + 01d1 + 01d0,
01d3 + 02d2 + 03d1 + 01d0,
01d3 + 01d2 + 02d1 + 03d0,
03d3 + 01d2 + 01d1 + 02d0]T

将b(x)表示为一个列向量：

b(x) = [b3, b2, b1, b0]T

则有：

b(x) = [b3, b2, b1, b0]T = [02d3 + 03d2 + 01d1 + 01d0,
01d3 + 02d2 + 03d1 + 01d0,
01d3 + 01d2 + 02d1 + 03d0,
03d3 + 01d2 + 01d1 + 02d0]T

即：

b3 = 02d3 + 03d2 + 01d1 + 01d0
b2 = 01d3 + 02d2 + 03d1 + 01d0
b1 = 01d3 + 01d2 + 02d1 + 03d0
b0 = 03d3 + 01d2 + 01d1 + 02d0

将c(x)表示为一个列向量：

c(x) = [03, 01, 01, 02]T

将输入状态矩阵的每一列表示为一个列向量：

a(x) = [a3, a2, a1, a0]T

则可以将d(x)表示为一个列向量：

d(x) = [d3, d2, d1, d0]T = [02a3 + 01a2 + 01a1 + 03a0,
03a3 + 02a2 + 01a1 + 01a0,
01a3 + 03a2 + 02a1 + 01a0,
01a3 + 01a2 + 03a1 + 02a0]T

即：

d3 = 02a3 + 01a2 + 01a1 + 03a0
d2 = 03a3 + 02a2 + 01a1 + 01a0
d1 = 01a3 + 03a2 + 02a1 + 01a0
d0 = 01a3 + 01a2 + 03a1 + 02a0

因此，输入状态矩阵的每一列与固定矩阵G之间的矩阵乘法可以表示为：

b(x) = [b3, b2, b1, b0]T = [02d3 + 03d2 + 01d1 + 01d0,
01d3 + 02d2 + 03d1 + 01d0,
01d3 + 01d2 + 02d1 + 03d0,
03d3 + 01d2 + 01d1 + 02d0]T
= [02a3 + 01a2 + 01a1 + 03a0, 03a3 + 02a2 + 01a1 + 01a0,
01a3 + 03a2 + 02a1 + 01a0, 01a3 + 01a2 + 03a1 + 02a0]T
× [03, 01, 01, 02]T

即：

b(x) = a(x) × c(x) mod x^4 + 1

其中，c(x) = 03x^3 + 01x^2 + 01x + 02，表示列混淆操作中的固定矩阵。