n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），求证f为线性泛函，且||f||=1

要证明 f(x)=xn0 是线性泛函，需要证明它满足线性性质，即：

1. 对于任意的 x, y ∈ lp 和任意的 a, b ∈ R，f(ax+by) = a^n0x^n0 + b^n0y^n0。

证明：

f(ax+by) = (ax+by)^n0 = Σ(k=0, n0) C(n0, k) (ax)^k (by)^(n0-k)
= Σ(k=0, n0) C(n0, k) a^k b^(n0-k) x^k y^(n0-k)
= a^n0x^n0 + b^n0y^n0

因此，f(x)=xn0 是线性泛函。

接下来证明 ||f||=1。根据范数的定义，有：

||f|| = sup||f(x)||

对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），有：

||f(x)|| = ||x^n0||p

当 p = ∞ 时，有：

||f(x)|| = ||x^n0||∞ = sup|xn0|

因此：

||f|| = sup||f(x)|| = sup|xn0| ≤ 1

当 x=(1,0,0,...) 时，有：

||f(x)|| = ||x^n0||p = 1

因此：

||f|| = sup||f(x)|| ≥ 1

综上所述，||f||=1，因此 f 是一个范数为 1 的线性泛函。

相关问题

n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），计算||f||=1

如果要求 ||f||=1，则需要找到一个数列 x=xn∈lp（1≤p≤∞），使得 ||f(x)||=||x^n0||=1。

当 p = ∞ 时，需要找到一个数列 x=xn∈lp，使得 ||f(x)||=sup|xn0|=1。这意味着，x 中所有数列的第 n0 项的模的最大值为 1。可以选择 x 的所有元素都为 0，除了第 n0 个元素为 1。这样，对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），都有 ||f(x)||=||x^n0||=1，因此 ||f||=1。

当 p ≠ ∞ 时，需要找到一个数列 x=xn∈lp，使得 ||f(x)||=||x^n0||p=1。这意味着，x 中所有数列的模的最大值为 1。可以选择 x 的所有元素都为 1/p，这样，对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），都有 ||f(x)||=||x^n0||p=1，因此 ||f||=1。

综上所述，无论 p = ∞ 还是 p ≠ ∞，都可以找到一个数列 x=xn∈lp，使得 ||f(x)||=1，因此 ||f||=1。

n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），计算||f||

根据范数的定义，有：

||f|| = sup||f(x)||

对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），有：

||f(x)|| = ||x^n0||p

当 p = ∞ 时，有：

||f(x)|| = ||x^n0||∞ = sup|xn0|

因此：

||f|| = sup||f(x)|| = sup|xn0|

当 p ≠ ∞ 时，有：

||f(x)|| = ||x^n0||p = (|xn0|)^p

因此：

||f|| = sup||f(x)|| = sup(|xn0|^p)^(1/p) = sup(|xn0|) = ||x||∞

综上所述，当 p = ∞ 时，||f|| 的值等于 lp 中所有数列的第 n0 项的模的最大值；当 p ≠ ∞ 时，||f|| 的值等于 lp 中所有数列的模的最大值。