n0∈[a,b], f(x)=xn0, 对任意x=xn0∈lp, 证明f是线性泛函，且||f||=1

首先，我们需要证明f是线性泛函。

设x1 = x^n_1 ∈ lp，x2 = x^n_2 ∈ lp，其中n1, n2 ∈ N，k1, k2 ∈ R，则有：

f(k1x1 + k2x2) = f(k1x^n_1 + k2x^n_2)
= (k1x^n_1 + k2x^n_2)^n0
= k1(x^n_1)^n0 + k2(x^n_2)^n0
= k1f(x1) + k2f(x2)

因此，f是线性泛函。

接着，我们需要证明||f||=1。

由于f是线性泛函，我们可以利用范数的定义来计算||f||：

||f|| = sup{||f(x)||/||x|| : x ∈ lp, x ≠ 0}

对于任意的x = x^n ∈ lp，我们有：

||f(x)|| = ||x^n^n0|| = |x^n|^n0

||x|| = (|x^n|^p)^1/p

因此，

||f(x)||/||x|| = (|x^n|^n0)/(|x^n|^p)^1/p

因为对于任意的n ∈ N，有n0p ≥ n，所以当p ≥ n0 时，我们有：

(|x^n|^n0)/(|x^n|^p)^1/p ≤ (|x^n|^n0)/(|x^n|^n0)^1/n0 = 1

另一方面，当p < n0 时，我们有：

(|x^n|^n0)/(|x^n|^p)^1/p ≤ (|x^n|^n0)/(|x^n|^p)^1/p0

其中p0 = p/n0 < 1。因此，当p < n0 时，我们有：

||f(x)||/||x|| ≤ (|x^n|^n0)/(|x^n|^p)^1/p0 ≤ (|x^n|^n0)/(|x^n|^n0)^1/n0 = 1

综上所述，||f||=1，证毕。