n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），计算||f||

根据范数的定义，有：

||f|| = sup||f(x)||

对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），有：

||f(x)|| = ||x^n0||p

当 p = ∞ 时，有：

||f(x)|| = ||x^n0||∞ = sup|xn0|

因此：

||f|| = sup||f(x)|| = sup|xn0|

当 p ≠ ∞ 时，有：

||f(x)|| = ||x^n0||p = (|xn0|)^p

因此：

||f|| = sup||f(x)|| = sup(|xn0|^p)^(1/p) = sup(|xn0|) = ||x||∞

综上所述，当 p = ∞ 时，||f|| 的值等于 lp 中所有数列的第 n0 项的模的最大值；当 p ≠ ∞ 时，||f|| 的值等于 lp 中所有数列的模的最大值。

相关问题

n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），计算||f||=1

如果要求 ||f||=1，则需要找到一个数列 x=xn∈lp（1≤p≤∞），使得 ||f(x)||=||x^n0||=1。

当 p = ∞ 时，需要找到一个数列 x=xn∈lp，使得 ||f(x)||=sup|xn0|=1。这意味着，x 中所有数列的第 n0 项的模的最大值为 1。可以选择 x 的所有元素都为 0，除了第 n0 个元素为 1。这样，对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），都有 ||f(x)||=||x^n0||=1，因此 ||f||=1。

当 p ≠ ∞ 时，需要找到一个数列 x=xn∈lp，使得 ||f(x)||=||x^n0||p=1。这意味着，x 中所有数列的模的最大值为 1。可以选择 x 的所有元素都为 1/p，这样，对于任意的 x=xn∈lp（1≤p≤∞），都有 ||f(x)||=||x^n0||p=1，因此 ||f||=1。

综上所述，无论 p = ∞ 还是 p ≠ ∞，都可以找到一个数列 x=xn∈lp，使得 ||f(x)||=1，因此 ||f||=1。

n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），证明||f||=1

这道题目可以使用 Hölder 不等式来证明。根据 Hölder 不等式，对于任意 $1 \leq p \leq \infty$ 和 $q$，满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，都有：

$$
\left\|fg\right\|_{L^1} \leq \left\|f\right\|_{L^p} \left\|g\right\|_{L^q}
$$

其中 $f, g$ 是 $L^p$ 空间中的可测函数。对于本题中的 $f(x) = x^{n_0}$，我们可以令 $g(x) = 1$，则有：

$$
\begin{aligned}
\left\|f\right\|_{L^p} &= \left( \int_{\mathbb{R}} \left| x^{n_0} \right|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \left( \int_{\mathbb{R}} |x|^{n_0 p} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\leq \left( \int_{\mathbb{R}} 1 dx \right)^{\frac{1}{q}} \\
&= 1
\end{aligned}
$$

其中 $1/p + 1/q = 1$，即 $q = \infty$。因此，我们得到 $||f||_{L^p} \leq 1$。

另一方面，根据题意，对于任意 $x = x_n \in l^p$，都有 $|f(x)| = |x_{n_0}|^{n_0} \leq \|x\|^n_p$。因此，我们有：

$$
\left\|f\right\|_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} |x|^{n_0 p} dx \geq \int_{\mathbb{R}} |f(x)|^p dx = \sum_{n=1}^{\infty} |f(x_n)|^p \geq |f(x)|^p = |x_{n_0}|^{n_0 p}
$$

因此，我们得到 $||f||_{L^p}^p \geq \|x\|_p^{n_0 p}$，即 $||f||_{L^p} \geq \|x\|_p^{n_0}$。

综上所述，我们得到：

$$
\|f\|_{L^p} \leq 1 \quad \text{且} \quad \|f\|_{L^p} \geq \|x\|_p^{n_0}
$$

由于 $x \in l^p$ 是任意的，因此我们可以令 $x = e_{n_0}$，其中 $e_{n_0}$ 表示第 $n_0$ 个坐标为 $1$，其余坐标为 $0$ 的向量。此时 $\|x\|_p = 1$，因此我们得到：

$$
\|f\|_{L^p} \geq 1
$$

综合以上结论，我们得到 $||f||_{L^p} = 1$，即 $||f|| = 1$。