n0∈N,f(x)=xn0,对任意x=xn∈lp,(1≤p≤∞),证明||f||=1

我们可以分别考虑 $1 \leq p < \infty$ 和 $p = \infty$ 两种情况。

当 $1 \leq p < \infty$ 时，我们有：

$$
\begin{aligned}
\|f\|_p^p &= \int_{\mathbb{R}} |x|^{n_0 p} dx \\
&= \int_{-\infty}^0 (-x)^{n_0 p} dx + \int_0^{+\infty} x^{n_0 p} dx \\
&= \frac{1}{n_0 p + 1} (-x)^{n_0 p + 1} \bigg|_{-\infty}^0 + \frac{1}{n_0 p + 1} x^{n_0 p + 1} \bigg|_0^{+\infty} \\
&= \frac{1}{n_0 p + 1} (0 - (-\infty)^{n_0 p + 1}) + \frac{1}{n_0 p + 1} (+\infty)^{n_0 p + 1} \\
&= \frac{1}{n_0 p + 1} [1 + (-1)^{n_0 p}]
\end{aligned}
$$

因为 $n_0$ 是正整数，所以 $(-1)^{n_0 p} = 1$，于是我们有 $\|f\|_p = 1$。

当 $p = \infty$ 时，我们有：

$$
\|f\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |x^{n_0}| = 1
$$

因此，无论 $1 \leq p \leq \infty$，我们都有 $\|f\|_p = 1$。所以，$\|f\| = \sup_{p \in [1, \infty]} \|f\|_p = 1$。