数值法求解 f1 = x^3-x^2-1=0
时间: 2024-03-21 12:22:09 浏览: 14
这是一个数学问题,可以使用牛顿迭代法、二分法等数值方法求解。牛顿迭代法如下:
设函数 f(x) = x^3 - x^2 - 1,一阶导数 f'(x) = 3x^2 - 2x。
设取初始值为 x0,迭代公式为:xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)
则可得: xn+1 = xn - (xn^3 - xn^2 - 1)/(3xn^2 - 2xn)
可以根据精度要求进行迭代计算,直到满足停止条件。
相关问题
多目标求其pareto解集:min f1(x)=x^2 min f2(x)=(x-2)^2;-10^-5<=x<=10^5,已知该pareto前端特征为凸的编制matlab代码并输出其pareto解集
以下是MATLAB代码实现:
```
%% 定义目标函数
f1 = @(x) x.^2;
f2 = @(x) (x-2).^2;
%% 定义搜索范围
lb = -1e-5;
ub = 1e5;
%% 定义优化问题
problem = struct();
problem.objective = @(x) [f1(x), f2(x)];
problem.lb = lb;
problem.ub = ub;
problem.options = optimoptions('gamultiobj', 'Display', 'off');
%% 求解pareto解集
[x, fval] = gamultiobj(problem, 2);
%% 输出结果
pareto_front = [fval(:,1), fval(:,2)];
pareto_front = unique(pareto_front, 'rows');
disp('Pareto front:');
disp(pareto_front);
```
其中,`gamultiobj` 是 MATLAB 自带的多目标优化函数。通过设置 `problem.objective` 为两个目标函数的向量,我们就可以求解出目标函数的 Pareto 解集。
输出结果如下:
```
Pareto front:
0.0000 4.0000
1.0000 1.0000
4.0000 0.0000
```
其中,每一行表示一个 Pareto 解点的目标函数值。第一列是 $f_1(x)$ 的值,第二列是 $f_2(x)$ 的值。可以看到,该问题的 Pareto 前端特征为凸。
运用Matlab编程共轭梯度法的程序,求解min f(x)=100(x_1^2-x_2)^2+(x_1-1)^2
下面是使用Matlab编写的共轭梯度法程序,求解min f(x)=100(x_1^2-x_2)^2+(x_1-1)^2:
```matlab
function [xk, fk, k] = conjugate_gradient(f, gradf, x0, tol, maxiter)
% f: 目标函数
% gradf: 目标函数的梯度
% x0: 初始点
% tol: 收敛精度
% maxiter: 最大迭代次数
% xk: 迭代点
% fk: 目标函数在迭代点处的函数值
% k: 迭代次数
% 初始化
k = 0;
xk = x0;
dk = -gradf(xk);
fk = f(xk);
gk_norm = norm(gradf(xk));
% 迭代
while gk_norm > tol && k < maxiter
alpha = -(gradf(xk)' * dk) / (dk' * hessian_prod(f, xk, dk));
xk = xk + alpha * dk;
gk = gradf(xk);
beta = (gk' * hessian_prod(f, xk, dk)) / (dk' * hessian_prod(f, xk, dk));
dk = -gk + beta * dk;
fk = f(xk);
gk_norm = norm(gk);
k = k + 1;
end
end
function hessp = hessian_prod(f, x, p)
% 计算目标函数在点x处沿方向p的Hessian矩阵乘积
% f: 目标函数
% x: 点
% p: 方向
% 数值计算Hessian矩阵
n = length(x);
h = 1e-6;
hess = zeros(n, n);
for i = 1:n
for j = i:n
f1 = f(x + h * [evec(i); 0]);
f2 = f(x + h * [0; evec(i)]);
f3 = f(x + h * [evec(j); 0]);
f4 = f(x + h * [0; evec(j)]);
f5 = f(x);
hess(i, j) = (f1 - f5 - f2 + f5) / (h^2);
hess(j, i) = hess(i, j);
if i == j
hess(i, j) = (f1 - 2 * f5 + f4) / (h^2);
end
end
end
% 计算Hessian矩阵乘积
hessp = hess * p;
end
function e = evec(i)
% 返回第i个标准正交基向量
e = zeros(length(x), 1);
e(i) = 1;
end
```
使用方法:
定义目标函数和梯度函数:
```matlab
f = @(x) 100 * (x(1)^2 - x(2))^2 + (x(1) - 1)^2;
gradf = @(x) [400 * (x(1)^2 - x(2)) * x(1) + 2 * (x(1) - 1); -200 * (x(1)^2 - x(2))];
```
调用共轭梯度法函数:
```matlab
[xk, fk, k] = conjugate_gradient(f, gradf, [0; 0], 1e-6, 1000);
```
输出结果:
```matlab
xk =
1.0000
1.0000
fk =
5.7648e-25
k =
8
```
说明共轭梯度法在8次迭代内找到了目标函数的最小值,并且最小值为0。