给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若激励信号e(t)=δ(t)，在MATLAB中求起始状态为零时，系统的冲激响应。

根据微分方程，可以列出系统的传递函数：

H(s) = (1)/(s^2 + 3s + 2)

其中，s 是 Laplace 变换域中的复变量。

对于冲激响应，我们可以将输入信号 e(t) 置为 Dirac δ 函数，即 e(t) = δ(t)。在 Laplace 变换域中，δ(t) 的变换为 1。因此，系统的输出 Y(s) 的变换为：

Y(s) = H(s) X(s)

其中，X(s) 是输入信号的 Laplace 变换。由于 e(t) = δ(t)，因此 X(s) = 1。将传递函数代入上式，得到：

Y(s) = (1)/(s^2 + 3s + 2)

将 Y(s) 变换回时域，即可得到系统的冲激响应 h(t)。在 MATLAB 中，可以使用 ilaplace 函数进行反变换。代码如下：

syms s t
H = 1/(s^2 + 3*s + 2);
h = ilaplace(H);

得到的 h(t) 为：

h(t) = e^(-t) - e^(-2t)

因此，起始状态为零时，系统的冲激响应为：

h(t) = e^(-t) - e^(-2t)

相关问题

使用机器人工具箱，已知2关节机械臂（平面2R型）其中，连杆长度(L_1,L_2)=[1,0.5]m ，连杆质心集中与中心部位，(m_1,m_2)=[1,0.5]kg，转动惯量I=□1/3ml^2，靶心距离机械臂坐标原点(机械臂基座中心位置)5m，高度2m。铅球重1kg，关节最大角加速度2rad/s^2 。 【不考虑空气阻力，重力加速度g=9.8m/s²】 1)、如何操控机械臂抛出铅球击中靶标？（误差0.01m） 2)、使用MATLAB绘制出铅球从初始状态开始到击中靶标的轨迹； 3)、给出其运动过程中的关节轨迹、关节速度、加速度轨迹 4)、使用MATLAB给出动态运动效果展示 注意：机械臂初始位置的选择（自然下垂、水平位置等）

1) 操控机械臂抛出铅球击中靶标的步骤如下：

a. 根据靶心的位置和高度，计算出铅球的落点位置和抛出角度；
b. 计算出铅球的初速度；
c. 根据初速度和抛出角度，反推出机械臂需要达到的末端位置和姿态；
d. 根据机械臂末端位置和姿态，使用逆运动学求解出对应的关节角度；
e. 根据关节角度，控制机械臂运动到目标位置；
f. 抛出铅球。

2) 铅球运动的轨迹可以使用MATLAB中的ODE45函数求解。首先需要建立铅球的运动微分方程，考虑到铅球只受到重力和空气阻力两个力，可以得到如下微分方程：

m*d^2r/dt^2 = -mg - k*v

其中，m为铅球质量，g为重力加速度，r为铅球位置矢量，v为铅球速度矢量，k为空气阻力系数。由于空气阻力与速度方向相反，所以k*v的方向与v的方向相反。

然后，可以使用MATLAB中的ODE45函数求解出铅球的位置和速度随时间的变化情况，从而得到铅球的轨迹。

3) 关节轨迹、速度和加速度可以通过求解机械臂的正运动学和逆运动学得到。具体来说，可以先求解出机械臂的正运动学，即通过给定的关节角度计算出机械臂末端的位置和姿态。

然后，根据铅球的落点位置和机械臂末端的位置，可以计算出机械臂需要达到的末端位置和姿态。接着，使用逆运动学求解出对应的关节角度。最后，通过对关节角度进行微分和二次微分，可以得到关节速度和加速度轨迹。

4) 使用MATLAB可以通过建立机械臂的模型，并结合铅球的运动轨迹，实现动态运动效果展示。具体来说，可以使用MATLAB中的Simulink工具箱，建立机械臂的动力学模型，并将铅球的运动轨迹作为输入信号。然后，通过仿真模拟机械臂的运动过程，得到动态运动效果展示。

给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若起始状态r(0_-)=1,r'(0_-)=2，e(t)=e^(-3t) U(t)，在MATLAB中求系统的零状态响应和全响应。

首先，将微分方程变形为标准形式：$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t)$，其中 $y(t)=r(t)$，$f(t)=e^{-3t}U(t)$。

然后，求解零状态响应，即令 $f(t)=0$，得到齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0$，其特征方程为 $s^2+3s+2=0$，解得 $s_1=-1$ 和 $s_2=-2$。因此，齐次解为 $y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数。由于给定了初始状态 $y(0_-)=1$ 和 $y'(0_-)=2$，代入初始条件解得 $c_1=1$ 和 $c_2=-3$，因此零状态响应为 $y_h(t)=e^{-t}-3e^{-2t}$。

接下来，求解全响应，即令 $y_h(t)=0$，得到非齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=3e^{-3t}U(t)$。对于 $t<0$，$e^{-3t}U(t)=0$，因此 $y_p(t)=0$。对于 $t\geq 0$，$e^{-3t}U(t)=e^{-3t}$，因此可以猜解 $y_p(t)=Ae^{-3t}$，代入微分方程得到 $A=\frac{3}{8}$，因此 $y_p(t)=\frac{3}{8}e^{-3t}$。因此，全响应为 $y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。

在 MATLAB 中，可以使用 dsolve 函数求解微分方程，并使用 subs 函数将初始条件代入解中，代码如下：

syms t y(t)
eqn = diff(y,t,2) + 3*diff(y,t) + 2*y == diff(exp(-3*t)*heaviside(t),t) + 3*exp(-3*t)*heaviside(t);
y_h = dsolve(eqn, y(0)==1, subs(diff(y)==2,t,0)==2);
y_h = simplify(y_h);
y_p = subs(y_h, y, 0);
y_p = subs(y_p, t, 0);
y_p = solve(y_p == 3/8, 'Real', true);
y_p = subs(y_h, y_p);
y = y_h + y_p;

其中 heaviside(t) 为单位阶跃函数 U(t)。运行代码后，得到 $y(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。