给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若激励信号e(t)=δ(t)，在MATLAB中求起始状态为零时，系统的冲激响应。

根据微分方程，可以列出系统的传递函数：

H(s) = (1)/(s^2 + 3s + 2)

其中，s 是 Laplace 变换域中的复变量。

对于冲激响应，我们可以将输入信号 e(t) 置为 Dirac δ 函数，即 e(t) = δ(t)。在 Laplace 变换域中，δ(t) 的变换为 1。因此，系统的输出 Y(s) 的变换为：

Y(s) = H(s) X(s)

其中，X(s) 是输入信号的 Laplace 变换。由于 e(t) = δ(t)，因此 X(s) = 1。将传递函数代入上式，得到：

Y(s) = (1)/(s^2 + 3s + 2)

将 Y(s) 变换回时域，即可得到系统的冲激响应 h(t)。在 MATLAB 中，可以使用 ilaplace 函数进行反变换。代码如下：

syms s t
H = 1/(s^2 + 3*s + 2);
h = ilaplace(H);

得到的 h(t) 为：

h(t) = e^(-t) - e^(-2t)

因此，起始状态为零时，系统的冲激响应为：

h(t) = e^(-t) - e^(-2t)

相关问题

给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若起始状态r(0_-)=1,r'(0_-)=2，e(t)=e^(-3t) U(t)，在MATLAB中求系统的零状态响应和全响应。

首先，将微分方程变形为标准形式：$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t)$，其中 $y(t)=r(t)$，$f(t)=e^{-3t}U(t)$。

然后，求解零状态响应，即令 $f(t)=0$，得到齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0$，其特征方程为 $s^2+3s+2=0$，解得 $s_1=-1$ 和 $s_2=-2$。因此，齐次解为 $y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数。由于给定了初始状态 $y(0_-)=1$ 和 $y'(0_-)=2$，代入初始条件解得 $c_1=1$ 和 $c_2=-3$，因此零状态响应为 $y_h(t)=e^{-t}-3e^{-2t}$。

接下来，求解全响应，即令 $y_h(t)=0$，得到非齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=3e^{-3t}U(t)$。对于 $t<0$，$e^{-3t}U(t)=0$，因此 $y_p(t)=0$。对于 $t\geq 0$，$e^{-3t}U(t)=e^{-3t}$，因此可以猜解 $y_p(t)=Ae^{-3t}$，代入微分方程得到 $A=\frac{3}{8}$，因此 $y_p(t)=\frac{3}{8}e^{-3t}$。因此，全响应为 $y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。

在 MATLAB 中，可以使用 dsolve 函数求解微分方程，并使用 subs 函数将初始条件代入解中，代码如下：

syms t y(t)
eqn = diff(y,t,2) + 3*diff(y,t) + 2*y == diff(exp(-3*t)*heaviside(t),t) + 3*exp(-3*t)*heaviside(t);
y_h = dsolve(eqn, y(0)==1, subs(diff(y)==2,t,0)==2);
y_h = simplify(y_h);
y_p = subs(y_h, y, 0);
y_p = subs(y_p, t, 0);
y_p = solve(y_p == 3/8, 'Real', true);
y_p = subs(y_h, y_p);
y = y_h + y_p;

其中 heaviside(t) 为单位阶跃函数 U(t)。运行代码后，得到 $y(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。

给定一个连续LTI系统，微分方程为dy(t)^2/dt^2+dy(t)/dt+25y(t)=x(t)，输入信号x(t)=10sinπt+10sin10πt，理论分析：计算系统的幅度响应，判断该系统是哪一类频率选择性滤波器？（低通、高通、带通、带阻）, 并求系统的输出信号。

首先，我们可以求出该系统的传递函数：

H(s) = Y(s) / X(s) = 1 / (s^2 + s + 25)

其中，s是Laplace变换域中的复变量。

接下来，我们可以计算该系统的幅度响应：

|H(jω)| = 1 / √(ω^4 + ω^2 + 625)

其中，ω是角频率。

由于该系统的传递函数分母中只有一个二次项，因此它是一个二阶系统。根据幅频特性曲线可以判断该系统的频率选择性。根据幅频特性曲线，当ω趋近于0时，|H(jω)|趋近于1，因此该系统是一个低通滤波器。当ω趋近于∞时，|H(jω)|趋近于0，说明该系统可以削弱高频信号。

接下来，我们可以求出系统的输出信号。

由于输入信号x(t)是两个正弦波的叠加，因此我们可以将它们分别输入系统，并将它们的输出信号相加，得到最终的输出信号。

对于第一个正弦波，x1(t) = 10sin(πt)，我们可以先求出它的拉普拉斯变换：

X1(s) = 10 / (s^2 + π^2)

然后，将它与系统的传递函数相乘，得到它的输出信号：

Y1(s) = X1(s) * H(s) = 10 / [(s^2 + π^2)(s^2 + s + 25)]

使用部分分式分解，可以将上式拆分为多个分式的和：

Y1(s) = A / (s + α) + B / (s + β) + C / (s^2 + ωn^2)

其中，α和β是系统的极点，ωn是系统的自然频率。

将上式进行反演换回到时域，可以得到第一个正弦波的输出信号：

y1(t) = (Ae^(-αt) + Be^(-βt) + Ccos(ωnt) + Dsin(ωnt))u(t)

其中，u(t)是单位阶跃函数，A、B、C、D是待定系数，可以根据初始条件进行求解。

对于第二个正弦波，x2(t) = 10sin(10πt)，我们可以使用类似的方法求出它的输出信号：

y2(t) = (Ae^(-αt) + Be^(-βt) + Ccos(ωnt) + Dsin(ωnt))u(t)

最终的输出信号是它们的和：

y(t) = y1(t) + y2(t)