根据京东、亚马逊、天猫等平台的商业实践，考虑由一个制造商和一个平台以及一群消费者构成的供应链结构，其中消费者分为两类：一类消费者参与合作设计，其占比为x（这类消费者与制造商一起付出努力），而另一类消费者不参与产品合作设计，其占比为(1-x)（这类消费者不付出努力），我们假设消费者总规模为1。模型中只有参与产品合作设计的消费者和制造商付出努力，不参与产品合作设计的消费者不付出努力。因此，参与产品合作设计的消费者的效用受到制造商的努力、自身的努力以及产品价格的影响；而不参与产品合作设计的消费者的效用只受到制造商的努力和产品价格的影响。问题（1）： 基于上述的描述请构建一个涉及平台、消费者和制造商三方共同参与产品合作设计的博弈模型？平台只提供销售模式而不付出产品设计努力。要求数学模型中需包括制造商和参与产品设计的消费者的努力程度，分别给出两类消费者的关于努力程度和产品价格的具体效用函数，制造商和和平台的利润函数，其中决策变量为制造商和消费者的努力程度、产品价格。问题（2）：请分别给出零售模式和代售模式下关于上述情形的具体数学模型（包括由效用函数导出的需求函数，利润函数），计算制造商和平台的利润、两类消费者的剩余，并分析平台的最优模式选择（根据阈值）。

问题（1）：建立博弈模型

假设制造商的努力程度为a，参与产品设计的消费者的努力程度为b，不参与产品设计的消费者的努力程度为0，产品价格为p。制造商的成本为c，制造商和平台之间的分成比例为α，平台只提供销售模式而不付出产品设计努力。假设消费者的总规模为1，其中参与产品设计的消费者占比为x，不参与产品设计的消费者占比为1-x。

制造商和参与产品设计的消费者的效用函数为：

U1 = -c + αp + a + bx - p

不参与产品设计的消费者的效用函数为：

U2 = -c + αp + p

平台的利润函数为：

πp = (1-α)p

制造商的利润函数为：

πm = αp - c - a

制造商和参与产品设计的消费者的决策变量为a和b，不参与产品设计的消费者的决策变量为p。

问题（2）：分别给出零售模式和代售模式下的具体数学模型

零售模式下，制造商将产品生产出来后直接卖给消费者，平台不参与销售过程。假设产品的需求函数为：

q = D(p) = a + bx + (1-x)D0(p)

其中，D0(p)为不参与产品设计的消费者的需求函数，形式为D0(p) = 1 - (p - c - αp)/p = (c + (1-α)p)/p。

制造商和平台的利润函数为：

πm = (p - c - αp)q

πp = 0

消费者的剩余为：

U1 - p = -c + αp + a + bx

U2 - p = -c + αp

代售模式下，制造商将产品寄售给平台，由平台负责销售，并从销售中获取一定的佣金。假设产品的需求函数为：

q = D(p) = a + bx + (1-x)D0(p)

其中，D0(p)为不参与产品设计的消费者的需求函数，形式为D0(p) = 1 - (p - c - αp)/p = (c + (1-α)p)/p。

制造商和平台的利润函数为：

πm = (p - c)q

πp = αq(p - c)

消费者的剩余为：

U1 - p = -c + αp + a + bx

U2 - p = -c + αp

问题（2）：计算制造商和平台的利润、两类消费者的剩余，并分析平台的最优模式选择

在零售模式下，平台的利润为0，制造商的利润为：

πm = (p - c - αp)q = (p - c - αp)(a + bx + (1-x)D0(p))

消费者的剩余为：

U1 - p = -c + αp + a + bx

U2 - p = -c + αp

在代售模式下，平台的利润为：

πp = αq(p - c) = α(a + bx + (1-x)D0(p))(p - c)

制造商的利润为：

πm = (p - c)q = (p - c)(a + bx + (1-x)D0(p))

消费者的剩余为：

U1 - p = -c + αp + a + bx

U2 - p = -c + αp

平台的最优模式选择取决于平台的利润和代售模式下的佣金收益是否大于零售模式下的分成比例收益。当代售模式下的佣金收益大于零售模式下的分成比例收益时，平台选择代售模式；否则，平台选择零售模式。在计算中需要根据具体的数值对比来判断。