罚函数思想做矩阵补全，MATLAB

矩阵补全是指通过已知矩阵的一部分元素来预测未知元素的值，常用的方法是基于低秩假设的矩阵分解方法，其中的一个经典算法就是使用奇异值分解（SVD）。

罚函数方法的思想是，在目标函数中加入对未知元素的约束条件，以此来优化目标函数。在矩阵补全中，罚函数方法可以用来加入对矩阵的低秩性的约束条件。

下面介绍一个基于罚函数的矩阵补全算法的 MATLAB 实现：

function [X] = matrix_completion(Y, lambda, mu, max_iter)
% Y: observed matrix
% lambda: regularization parameter for low rank constraint
% mu: regularization parameter for observed entries
% max_iter: maximum number of iterations

[m, n] = size(Y);
X = Y;

for iter = 1:max_iter
    % update X
    X = proximal_operator(X, lambda);
    X(Y ~= 0) = Y(Y ~= 0);

    % check stopping criterion
    if norm(X - Y, 'fro') < 1e-4
        break;
    end
end

function [X] = proximal_operator(X, lambda)
[U, S, V] = svd(X, 'econ');
S = max(0, S - lambda);
X = U * S * V';

其中，`proximal_operator` 函数实现了矩阵的奇异值软阈值操作，即 $prox_{\lambda}(X) = U diag(max(0, \Sigma - \lambda)) V^T$，其中 $U\Sigma V^T$ 是 $X$ 的奇异值分解。

算法的思路是，先将 $X$ 进行奇异值分解，然后对奇异值进行软阈值操作，再将矩阵重构回来。在每次迭代中，先更新 $X$，然后将 $Y$ 中已知的元素赋值回去。当 $X$ 的变化不再显著时，算法停止迭代。

调用该函数的方式如下：

% generate a random matrix with 30% missing entries
Y = randn(50, 50);
Y(rand(50, 50) > 0.7) = 0;

% set regularization parameters and maximum number of iterations
lambda = 0.1;
mu = 1;
max_iter = 100;

% run matrix completion algorithm
X = matrix_completion(Y, lambda, mu, max_iter);

其中，生成一个大小为 $50 \times 50$ 的随机矩阵，并将其中 $30\%$ 的元素设为未知，然后运行矩阵补全算法，得到完整的矩阵 $X$。