有如下一组四维数据(每一行为一个样本，每一列为一个维度)，完成三个任务 1.推导PCA变换:求解变换矩阵 2.编程体验PCA变换 3.给出保留1-3个主成分的可视化效果 [[0 1 1 1] [2 2 2 2] [3 0 3 3] [1 4 2 4] [4 3 2 5]]

首先，PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种常用的数据降维技术，通过线性变换将原始高维数据转换到新的坐标系中，新坐标系的方向由数据的主要变化趋势（方差最大的方向）确定。

1. 推导PCA变换矩阵：PCA的目标是找到一个正交的新坐标系（即旋转后的坐标轴），使得新数据在每个方向上都有最大的方差。对于给定的样本集，可以按照以下步骤计算：

- 计算样本均值，然后对每个样本减去均值，得到中心化数据。
- 计算协方差矩阵。
- 对协方差矩阵做特征值分解，得到特征值和对应的单位特征向量（即旋转后的坐标轴）。
- 特征值按大小排序，选择前k个（这里k=1-3），对应的特征向量就是PCA变换矩阵的列。

2. 编程体验PCA变换：在Python中，我们可以使用sklearn库来实现PCA。示例代码如下：

from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np

data = np.array([[0, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 0, 3, 3], [1, 4, 2, 4], [4, 3, 2, 5]])
data_centered = data - data.mean(axis=0)  # 中心化数据

pca = PCA(n_components=3)  # 保留3个主成分
transformed_data = pca.fit_transform(data_centered)

# 变换矩阵就是PCA对象的.components_属性
rotation_matrix = pca.components_

3. 可视化效果：使用matplotlib或seaborn库，我们可以将投影到前3个主成分后的数据点绘制出来。由于我们这里是二维空间的可视化，需要选择一个主成分作为y轴，另一个作为x轴，比如取前两个主成分：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(transformed_data[:, 0], transformed_data[:, 1])
for i in range(len(data)):
    plt.text(transformed_data[i, 0], transformed_data[i, 1], f"Sample {i+1}")

plt.xlabel("First Principal Component")
plt.ylabel("Second Principal Component")
plt.title("PCA Visualization with 1-3 Components")
plt.show()