粒子群算法详细的数学公式

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，简称PSO）是一种基于群体智能的优化算法。其基本数学公式如下：

对于每个粒子 i，其位置表示为 x_i = (x_i1, x_i2, ..., x_in)，速度表示为 v_i = (v_i1, v_i2, ..., v_in)，其中 n 表示问题的维度。

1. 初始化阶段：
- 随机初始化每个粒子的位置和速度：x_i = (x_i1, x_i2, ..., x_in)，v_i = (v_i1, v_i2, ..., v_in)。

2. 迭代更新阶段：
- 对于每个粒子 i，根据其当前位置和速度计算适应度值 f(x_i)。
- 对于每个粒子 i，更新其速度和位置：
v_ij = w * v_ij + c1 * r1 * (pbest_ij - x_ij) + c2 * r2 * (gbest_j - x_ij)
x_ij = x_ij + v_ij
其中，v_ij 表示粒子 i 在第 j 维度上的速度，x_ij 表示粒子 i 在第 j 维度上的位置，w 是惯性权重，c1 和 c2 是加速因子，r1 和 r2 是随机数（通常取值在 [0, 1] 之间），pbest_ij 表示粒子 i 曾经找到的最优位置上的值，在迭代过程中被更新为当前最优位置，gbest_j 表示所有粒子中最优位置上的值。
- 如果满足终止条件（如达到最大迭代次数或达到预设的适应度阈值），则结束迭代；否则，转到步骤 2。

在迭代过程中，粒子之间通过共享信息来寻找全局最优解。每个粒子根据自身历史经验（个体最优解）和整个群体的历史经验（全局最优解）来调整自己的搜索方向和速度。通过不断迭代更新粒子的速度和位置，PSO算法能够逐渐收敛到最优解。