优先队列式分支限界法 解装载问题

优先队列式分支限界法是一种求解最优化问题的算法，它将搜索过程中需要扩展的节点存放在一个优先队列中，按照某个评价函数的值进行排序，每次从队首取出评价函数最小的节点进行扩展。这种方法可以有效地避免无效的搜索，提高搜索效率。

解装载问题是指将一批集装箱装上一艘载重量有限的船只，要求最大限度地利用船的载重量，使得装载船只的总价值最大。优先队列式分支限界法可以应用于解决这类问题。具体来说，可以将每个节点表示为当前已经装载的货物情况，包括还未装载的货物和已经装载的货物。对于每个节点，可以计算其剩余可用载重量和当前已经装载的货物的总价值，并根据这些信息计算一个评价函数的值。然后将节点存放在优先队列中，按照评价函数的值进行排序。每次从队首取出评价函数最小的节点进行扩展，生成新的节点，并加入优先队列中。这样就可以逐步搜索出最优解。

相关问题

优先队列分支限界法解装载问题的时间复杂度

优先队列分支限界法是一种用于解决组合优化问题的算法，在解装载问题时，它可以求解出最优的装载方案。其时间复杂度依赖于搜索树的大小以及优先队列的实现方式。

在优先队列分支限界法中，每个节点表示一种选择方案，即已选择的货物以及未选择的货物。每个节点需要进行一次插入操作和一次删除操作，因此需要使用优先队列来维护节点的优先级。每个节点的优先级是其下界估计值，可以通过已经选择的货物的重量和价值以及未选择的货物的最大价值计算得到。

在解装载问题时，我们可以定义上界函数为当前节点已经装载的货物的价值加上剩余货物按照单位重量价值从大到小排序后能够装载的最大价值。当某个节点的上界函数小于当前最优解时，我们可以将其剪枝，不再对其进行扩展。当队列为空时，搜索结束，得到的最优解即为所求的最优装载方案。

因此，优先队列分支限界法解装载问题的时间复杂度取决于状态空间的大小。在每个节点上，需要对剩余货物进行选择，因此每个节点的分支因子为b，即每个节点可以扩展成b个子节点。搜索树的深度为d，即需要遍历d层搜索树才能找到最优解。因此，状态空间的大小为b^d。

在使用优先队列维护节点的优先级时，每个节点需要进行一次插入操作和一次删除操作。插入和删除操作的时间复杂度均为O(logb)，因此总的时间复杂度为O(b^d * logb)。

需要注意的是，在装载问题中，每个货物的重量和价值是已知的，因此在计算节点的下界估计值时，不需要进行排序操作，这可以降低算法的时间复杂度。

综上所述，优先队列分支限界法解装载问题的时间复杂度为O(b^d * logb)，其中b是每个节点的分支因子，d是搜索树的深度。

帮我用java语言解决基于优先队列式分支限界法解决装载问题，给出实例具体展示，给出具体实现代码

下面是基于优先队列式分支限界法解决装载问题的Java代码实现。

import java.util.*;

public class KnapsackProblem {
    static class Item implements Comparable<Item> {
        int weight;
        int value;
        double density;
        
        public Item(int weight, int value) {
            this.weight = weight;
            this.value = value;
            this.density = (double) value / weight;
        }
        
        @Override
        public int compareTo(Item other) {
            if (this.density > other.density) {
                return -1;
            } else if (this.density < other.density) {
                return 1;
            } else {
                return 0;
            }
        }
    }
    
    static class Node implements Comparable<Node> {
        int level;
        int profit;
        int weight;
        boolean[] include;
        
        public Node(int level, int profit, int weight, boolean[] include) {
            this.level = level;
            this.profit = profit;
            this.weight = weight;
            this.include = include.clone();
        }
        
        @Override
        public int compareTo(Node other) {
            return Integer.compare(other.profit, this.profit);
        }
    }
    
    public static int knapsack(int capacity, int[] weights, int[] values) {
        int n = weights.length;
        Item[] items = new Item[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            items[i] = new Item(weights[i], values[i]);
        }
        Arrays.sort(items);
        
        PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<>();
        boolean[] initialInclude = new boolean[n];
        queue.offer(new Node(-1, 0, 0, initialInclude));
        
        int maxProfit = 0;
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node node = queue.poll();
            if (node.level == n - 1) {
                if (node.profit > maxProfit) {
                    maxProfit = node.profit;
                }
                continue;
            }
            int level = node.level + 1;
            boolean[] include = node.include.clone();
            include[level] = true;
            int weight = node.weight + items[level].weight;
            if (weight <= capacity) {
                int profit = node.profit + items[level].value;
                queue.offer(new Node(level, profit, weight, include));
            }
            int bound = bound(level, capacity, items, node);
            if (bound > maxProfit) {
                queue.offer(new Node(level, node.profit, node.weight, node.include.clone()));
            }
        }
        
        return maxProfit;
    }
    
    private static int bound(int level, int capacity, Item[] items, Node node) {
        int profit = node.profit;
        int weight = node.weight;
        for (int i = level + 1; i < items.length; i++) {
            if (weight + items[i].weight <= capacity) {
                weight += items[i].weight;
                profit += items[i].value;
            } else {
                profit += (capacity - weight) * items[i].density;
                break;
            }
        }
        return profit;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int capacity = 50;
        int[] weights = {10, 20, 30};
        int[] values = {60, 100, 120};
        int maxProfit = knapsack(capacity, weights, values);
        System.out.println("Maximum profit is: " + maxProfit);
    }
}

在上面的代码中，我们定义了两个内部类`Item`和`Node`。`Item`表示物品，包含重量、价值和价值密度；`Node`表示搜索树中的节点，包含当前层数、当前总价值、当前总重量和是否选择了每个物品。

我们首先将物品按照价值密度从大到小排序，然后使用优先队列保存搜索树中的节点。每次从队列中取出价值最大的节点，根据它的状态进行分支。如果选择当前物品能够放入背包，则生成一个新节点，加入队列中。如果选择当前物品不能放入背包，则计算当前节点的上界，如果该上界大于当前最优解，则生成一个新节点，加入队列中。

最后，我们输出得到的最大价值即可。