设G是全体n×n实可逆矩阵关于矩阵乘法# #成的群，H是G中全体行列式大于0的矩阵集合 。(1)证明 H是G的正规子群； (2)计算[G:H]。

(1) 要证明H是G的正规子群，需要证明对于任意的h∈H和g∈G，都有ghg^(-1)∈H。

设h是一个行列式大于0的可逆矩阵，g是任意的可逆矩阵。我们需要证明ghg^(-1)的行列式也大于0。

由于g是可逆矩阵，因此其行列式不为0。因此，det(ghg^(-1)) = det(g)det(h)det(g^(-1)) = det(h) > 0。

因此，ghg^(-1)是一个行列式大于0的可逆矩阵，属于H。因此，H是G的正规子群。

(2) 首先，容易证明G是一个有限群。因为全体n×n实可逆矩阵的个数是有限的，因此G的阶数也是有限的。

考虑构造一个映射f：G→R+，将矩阵A映射到其行列式det(A)上。由于矩阵乘法满足结合律，因此f满足f(AB) = f(A)f(B)。又因为H是由行列式大于0的可逆矩阵构成的集合，因此H是f的一个像。根据群同构基本定理，有[G:H] = |G|/|H|。

对于任意的可逆矩阵A∈G，它的行列式det(A)有两种可能：大于0或小于0。因此，H和-H是等势的，即|H| = |-H|。由于H和-H的交集为空集，因此|G| = |H| + |-H|。因此，|G| = 2|H|。

综上所述，[G:H] = |G|/|H| = 2。