排列_next_permutation1
"排列_next_permutation1" 在计算机科学中,排列是指一个集合中元素的排列顺序。对于一个给定的集合,可能存在多种不同的排列方式。next_permutation 函数是 C++/STL 中定义的函数之一,它可以生成给定序列的下一个较大的排列。prev_permutation 函数则是生成给定序列的上一个较小的排列。二者的原理相同,仅遍例顺序相反。 为了生成下一个较大的排列,需要了解排列的数学基础。对于一个任意序列,最小的序列是增序,最大的序列为减序。那么给定一个 pn 要如何才能生成 pn+1 呢?下面是生成 pn+1 的步骤: 1. 若 pn 最右端的 2 个元素构成一个增序子序列,那么直接反转这 2 个元素使该子序列成为减序,即可得到 pn+1。 2. 若 pn 最右端一共有连续的 s 个元素构成一个减序子序列,令 i = m - s,则有 pn(i) < pn(i+1)。例如 pn=<1 2 5 4 3>,那么 pn 的右端最多有3 个元素构成一个减序子集<5 4 3>,i=5-3=2,则有 pn(i)=2 < 5=pn(i+1)。因此若将 pn(i)和其右边的子集 s {pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中任意一个元素调换必能得到一个较大的序列(不一定是下一个)。 要保证是下一个较大的序列,必须保持 pn(i)左边的元素不动,并在子集s {pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中找出所有比 pn(i)大的元素中最小的一个 pn(j),即不存在 pn(k) ∈ s 且 pn(i) < pn(k) < pn(j),然后将二者调换位置。现在只要使新子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(i), ...,pn(m)}成为最小序列即得到 pn+1。 注意到新子集仍保持减序,那么此时直接将其反转即可得到 pn+1 {pn(1), pn(2), ..., pn(j), pn(m), pn(m-1), ..., pn(i), ..., pn(i+2), pn(i+1)}。 复杂度最好的情况为 pn 的最右边的 2 个元素构成一个最小的增序子集,交换次数为 1,复杂度为O(1),最差的情况为 1 个元素最小,而右面的所有元素构成减序子集,这样需要先将第 1 个元素换到最右,然后反转右面的所有元素。交换次数为 1+(n-1)/2,复杂度为 O(n)。因为各种排列等可能出现,所以平均复杂度即为 O(n)。 扩展1:能否直接算出集合{1, 2, ..., m}的第 n 个排列?设某个集合{a1, a2, ..., am}(a1<a2<...<am)构成的某种序列 pn,基于以上分析易证得:若 as<at,那么将 as 和 at 互换,则得到的序列 pn' > pn。如果 pn' > pn,那么 pn' 即为 pn 的下一个较大的排列。否则,继续交换直到找到 pn' > pn。 扩展2:如何生成所有可能的排列?可以使用递归算法或循环移位法等方法来生成所有可能的排列。 结论:next_permutation 函数是 C++/STL 中定义的函数之一,可以生成给定序列的下一个较大的排列。其原理基于数学基础,通过交换元素来生成下一个较大的排列。该函数广泛应用于为指定序列生成不同的排列。