在三维空间中，给定两条直线的方向向量，如何使用向量积来判断这两条直线是相交、平行还是异面？

向量积是解决三维空间中直线相互位置关系问题的重要工具。在《同济大学高等数学（第七版）下册第8章习题答案详解》中，我们可以找到相关的理论基础和应用实例。具体操作如下：

参考资源链接：[同济大学高等数学（第七版）下册第8章习题答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/64783a31d12cbe7ec32dee4e?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们设两条直线的方向向量分别为向量a(u1, v1, w1)和向量b(u2, v2, w2)。

然后，计算这两个向量的向量积a×b，其结果向量c的坐标由下列公式给出：

c = (v1*w2 - w1*v2, w1*u2 - u1*w2, u1*v2 - v1*u2)

向量积c的模长|c|可以表示为：

|c| = √((v1*w2 - w1*v2)² + (w1*u2 - u1*w2)² + (u1*v2 - v1*u2)²)

这个模长|c|不为零时，说明向量a和向量b不是平行的，也就是说，它们所确定的两条直线不是平行直线。

接下来，我们需要观察向量积c的方向。如果c与a、b共面，则说明两条直线要么相交，要么平行或异面。为了判断它们是相交还是异面，我们需要检查向量a、b和c是否共面。这可以通过检查a、b和c三个向量构成的行列式是否为零来实现。如果行列式为零，则它们共面，否则不共面。

若a、b和c共面且向量积c不为零向量，则说明这两条直线异面；如果a和b线性相关，即它们成比例，则这两条直线要么平行要么重合。

在实际操作中，我们可以借助《同济大学高等数学（第七版）下册第8章习题答案详解》中提供的习题八中的具体例题，来更深入地理解这些概念和解题步骤。例题中的解答过程和技巧可以帮助我们更好地掌握如何应用向量积解决实际问题。

综上所述，通过计算向量积的模长和方向，并结合线性代数的相关知识，我们可以准确判断三维空间中两条直线的相互位置关系。这种判断对于解决实际的几何问题是非常有用的。

参考资源链接：[同济大学高等数学（第七版）下册第8章习题答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/64783a31d12cbe7ec32dee4e?spm=1055.2569.3001.10343)