对偶问题是凸优化问题，对偶函数是凸函数

对偶问题和凸优化在数学优化领域中起着核心作用。在优化问题中，一个原始问题（通常称为原问题）和它的等价形式（称为对偶问题）有着紧密的联系。原问题是关于决策变量的最优化问题，而对偶问题则是关于原问题的某些线性或二次约束函数的最优化问题。

对于凸优化问题，它是指那些在其定义域内所有局部最优解也是全局最优解的问题。这样的函数具有凸形状，意味着从任意一点向下的切线都不会高于函数曲线。如果原问题是凸的，那么它的对偶问题也必定是凸的，因为凸性是通过函数的图形特性决定的，而不依赖于具体变量的顺序。

对偶函数，实际上是原问题的对偶问题中的目标函数。对于一个标准形式的凸优化问题，对偶函数是由原问题的拉格朗日函数（Lagrangian）经过一些转换得到的。拉格朗日函数结合了原始的目标函数和约束条件，而对偶函数则是在拉格朗日函数中消去了一些决策变量，只保留了与约束相关的部分。

对偶函数的性质有助于解决原问题，因为有时候原问题可能难以直接求解，而对偶问题可能更容易处理。例如，在线性规划中，原问题和其对偶问题的解之间存在很强的关系，这被称为弱对偶性和强对偶性，它们提供了优化策略和理论上的效率提升。