7-3 dijkstra算法(模板) (30分)

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的贪心算法。该算法的基本思想是从起始节点开始，通过不断扩展当前已找到的最短路径来逐步确定最短路径的结果。

具体的实现步骤如下：
1. 初始化：设置起始节点为当前节点，将起始节点到自身的距离为0，将起始节点到其他节点的距离设为无穷大。
2. 判断是否遍历了所有节点：如果还有未处理的节点，则继续执行下述步骤。否则，算法结束。
3. 遍历邻接节点：对于当前节点的所有邻接节点，计算经过当前节点到达该邻接节点的距离。如果该距离小于已确定的最短距离，则更新最短距离。
4. 选择下一个节点：从未处理的节点中选取距离起始节点最近的节点作为下一个节点。
5. 将选择的节点标记为处理完成。
6. 跳转至步骤2。

通过以上步骤，Dijkstra算法可以得到从起始节点到图中所有其他节点的最短路径。在实际应用中，可以使用优先队列来高效地实现步骤4的节点选择操作。

然而，需要注意的是，Dijkstra算法对于存在负权边的图无法正确处理，因为它会假设经过已处理的节点的路径是最短路径。如果图中存在负权边，可以使用Bellman-Ford算法来解决。此外，Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示节点的个数。若要减少时间复杂度，可以使用堆优化的Dijkstra算法，其时间复杂度为O((V+E)logV)，其中E表示边的个数。

总之，Dijkstra算法是一种解决最短路径问题的有效算法，通过不断扩展已找到的最短路径来逐步确定最短路径的结果。在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的优化策略。

相关问题

7-12 dijkstra算法（模板） (30 分)

Dijkstra算法是用于在加权图中寻找最短路径的算法。它适用于没有负权边的图。算法首先将起始节点的距离设为0，然后将其它所有节点的距离设为无穷大。接下来，从起始节点开始，算法每次选择与起始节点距离最短的节点，并更新与该节点相邻的所有节点的距离。这一过程会一直进行，直到所有节点都被处理完毕，或者达到了目标节点。最终，算法得到的起始节点到目标节点的最短路径即为所有节点处理完毕后的结果。

7-1 Dijkstra算法（模板

Dijkstra算法是一种用于解决带权图的单源最短路径问题的贪心算法。它维护一个距离起点的最短路径已知的顶点集合，通过不断地扩展这个集合，最终得到从起点到所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法的基本思想是，维护一个集合S，表示已经求出最短路径的顶点集合。一开始，S只包含起点。然后，每次从集合V-S中选取一个距离起点最近的顶点u，将其加入集合S中，并更新与u相邻的所有顶点的最短路径。

具体实现上，我们可以使用一个数组dis[]来存储每个顶点到起点的最短路径长度，数组vis[]表示该顶点是否已经被加入到集合S中。每次选取距离起点最近的顶点u后，我们遍历u的所有邻居v，并更新dis[v]的值，如果dis[v]发生了改变，我们就将v加入到一个优先队列中，等待下一次选择。

以下是Dijkstra算法的伪代码实现：

int n; // 顶点数
int dis[N]; // 存储起点到每个顶点的最短距离
bool vis[N]; // 标记每个顶点是否已经加入集合S中
vector<pair<int, int>> adj[N]; // 存储每个顶点的邻居

void dijkstra(int s) { // s为起点编号
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 将dis数组初始化为无穷大
    dis[s] = 0; // 起点到自身的距离为0
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    q.push({0, s}); // 将起点加入队列中
    while (!q.empty()) {
        auto t = q.top(); q.pop();
        int u = t.second;
        if (vis[u]) continue; // 如果该点已经在集合S中，直接跳过
        vis[u] = true; // 将u加入集合S中
        for (auto [v, w] : adj[u]) { // 遍历u的所有邻居
            if (dis[v] > dis[u] + w) { // 如果从u到v的距离更短
                dis[v] = dis[u] + w; // 更新dis数组
                q.push({dis[v], v}); // 将v加入队列中
            }
        }
    }
}

其中，priority_queue是一个优先队列，用于存储待选顶点。我们使用了STL中的pair来表示顶点与其到起点的距离。优先队列默认按照pair的第一个元素排序，因此我们需要自定义一个比较函数，将pair按照第二个元素（距离）排序。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。在实际应用中，Dijkstra算法的效率很高，能够处理大规模的图。