题目：设 \( e^z - xyz = 0 \)， 求 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)

这是一个求偏导数的问题。给定方程 \( e^z - xyz = 0 \)，我们需要求解 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)。

为了求解这个偏导数，我们可以先对方程两边分别对 x 和 y 进行求导。首先对 x 求偏导数，得到：

\(\frac{\partial}{\partial x}(e^z - xyz) = \frac{\partial}{\partial x}(0)\)

应用链式法则，我们可以得到：

\(e^z \frac{\partial z}{\partial x} - yz - xy \frac{\partial z}{\partial x} = 0\)

整理后，我们可以得到：

\((e^z - x) \frac{\partial z}{\partial x} = yz\)

接下来，对上式两边再次对 y 求偏导数，得到：

\(\frac{\partial}{\partial y}((e^z - x) \frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial y}(yz)\)

应用链式法则，我们可以得到：

\((e^z - x) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}(e^z - x) = z\)

整理后，我们可以得到：

\((e^z - x) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} e^z = z\)

最后，我们可以解出 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)：

\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{z - \frac{\partial z}{\partial x} e^z}{e^z - x}\)