.求函数u=x^2+y^2+z^2在x=t,y=2t^2，z=2t^3+1上点(1,2,3)处沿曲线在该点的切线正方向(对应t增大的方向)的方向导数.

根据链式法则，沿曲线在该点的切线正方向的方向导数可以表示为：

$$
\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{dz}{dt}
$$

将函数 $u=x^2 y^2 z^2$ 代入上式，并带入点 $(1,2,3)$ 和曲线上的参数值 $x=t,y=2t^2,z=2t^3$，则有：

$$
\begin{aligned}
\frac{du}{dt}&=2xyz^2\frac{dx}{dt}+2x^2yz\frac{dy}{dt}+2x^2y^2z\frac{dz}{dt}\\
&=2(1)(2)^2(3)^2(1)+2(1)^2(2)(3)(4t)+2(1)^2(2)^2(t)^2(3)(6t^2)\\
&=24+48t+72t^3
\end{aligned}
$$

因此，在点 $(1,2,3)$ 处沿曲线在该点的切线正方向的方向导数为 $24+48t+72t^3$。

相关问题

求函数u=x^2+y^2+z^2在x=t,y=2t^2，z=2t^3+1上点(1,2,3)处沿曲线在该点的切线正方向(对应t增大的方向)的方向导数.

这是一个数学问题，可以回答。首先，求出该点的梯度向量：

grad u = <2xy^2z^2, 2x^2yz^2, 2x^2y^2z>

将点(1,2,3)代入得：

grad u(1,2,3) = <36, 24, 12>

接下来，求曲线在该点的切向量：

r'(t) = <1, 4t, 6t^2>

将t=1代入得：

r'(1) = <1, 4, 6>

最后，求方向导数：

D_u(r'(1)) = grad u(1,2,3) · r'(1) / ||r'(1)||

= (36)(1) + (24)(4) + (12)(6) / sqrt(1^2 + 4^2 + 6^2)

= 180 / sqrt(53)

所以，函数u=x^2 y^2 z^2在曲线x=t,y=2t^2，z=2t^3上点(1,2,3)处沿切线正方向的方向导数为180 / sqrt(53)。

作螺旋线 x=2t,y=sint ,z=cost matlab

可以使用Matlab中的plot3函数来绘制三维曲线，下面是绘制该螺旋线的代码：

t = linspace(0, 10*pi, 1000);
x = 2*t;
y = sin(t);
z = cos(t);

plot3(x, y, z);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Spiral Curve');

这段代码将在三维坐标系中绘制出该螺旋线。其中，linspace函数用于生成t的值，使得t在0到10π之间平均分布，共有1000个点。然后，根据螺旋线的参数方程计算出x、y、z的值，并使用plot3函数将其绘制出来。最后，通过xlabel、ylabel、zlabel和title函数添加坐标轴标签和标题。