计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ − 5 sin x , 5 cos y , 10 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( − 2 t 3 , − t 2 , − 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

首先，我们需要计算参数化后的轨迹 $\vec{r}(t)=\langle -2t^3,-t^2,-3t\rangle$ 的切向量 $\vec{T}(t)$。

因为 $\vec{r}(t)$ 的每个分量都是关于 $t$ 的多项式，所以我们可以通过求导来得到 $\vec{T}(t)$：

$$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\langle -6t^2,-2t,-3\rangle$$

接下来，我们需要将 $\vec{F}$ 在 $\vec{T}(t)$ 上的投影作为被积函数，即 $F_{\parallel}=\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}$。

首先，我们需要计算 $\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}$：

$$\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}=\frac{\langle -6t^2,-2t,-3\rangle}{\sqrt{36t^4+4t^2+9}}$$

然后，我们需要计算 $\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}$：

$$\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}=\langle -5\sin(-2t^3),5\cos(-t^2),10(-2t^3)(-3t)\rangle\cdot\frac{\langle -6t^2,-2t,-3\rangle}{\sqrt{36t^4+4t^2+9}}$$

化简上式，得到：

$$\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}=-30t^2\sqrt{36t^4+4t^2+9}$$

现在，我们可以计算线积分：

$$\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{T}(t)dt=\int_{0}^{1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\frac{\vec{T}(t)}{||\vec{T}(t)||}||\vec{T}(t)||dt=\int_{0}^{1}F_{\parallel}||\vec{T}(t)||dt$$

代入 $F_{\parallel}$ 和 $||\vec{T}(t)||$ 的表达式，得到：

$$\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}-30t^2(36t^4+4t^2+9)dt=-\frac{115}{7}$$

因此，线积分的值为 $-\frac{115}{7}$。