计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ 3 sin x , 2 cos y , 5 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( 2 t 3 , 3 t 2 , − 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

首先计算 C 的切向量和微元向量：

r'(t) = (6t^2, 6t, -3)

dr = r'(t)dt = (6t^2, 6t, -3)dt

然后将 F 和 dr 代入线积分的公式，得到：

∫ C F · dr = ∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt

将 F 和 r'(t) 代入，得到：

∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt = ∫0^1 ⟨3sin(2t^3), 2cos(3t^2), 15t^4⟩ · ⟨6t^2, 6t, -3⟩ dt

化简得到：

∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt = ∫0^1 (18t^2 sin(2t^3) + 12t cos(3t^2) - 45t^5) dt

对每一项分别进行积分，得到：

∫0^1 18t^2 sin(2t^3) dt = -3/2 cos(2t^3) |0^1 = -3/2(cos(2) - 1)

∫0^1 12t cos(3t^2) dt = 2 sin(3t^2) |0^1 = 2(sin(3) - 0)

∫0^1 -45t^5 dt = -9/2 |0^1 = -9/2

因此，

∫ C F · dr = -3/2(cos(2) - 1) + 2(sin(3) - 0) - 9/2 = -3/2cos(2) + 2sin(3) - 6

相关问题

计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ sin x , − 3 cos y , 5 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( − 2 t 3 , 2 t 2 , 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

根据线积分的定义，有：

∫C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt

其中，r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是曲线 C 上的参数方程，a 和 b 分别是参数 t 的起始值和终止值。

对于给定的曲线 r(t) = (-2t^3, 2t^2, 3t)，有：

r'(t) = (-6t^2, 4t, 3)

因此，有：

|r'(t)| = sqrt((6t^2)^2 + (4t)^2 + 3^2) = sqrt(36t^4 + 16t^2 + 9)

将 r(t) 带入 F 中，得到：

F(r(t)) = (sin(-2t^3), -3cos(2t^2), 5(-2t^3)(2t^2)) = (-sin(2t^3), -3cos(2t^2), -20t^5)

因此，有：

F(r(t)) · r'(t) = (-sin(2t^3), -3cos(2t^2), -20t^5) · (-6t^2, 4t, 3)
= 6t^2 sin(2t^3) - 12t^3 cos(2t^2) - 60t^5

因此，可以计算线积分：

∫C F · dr = ∫_0^1 F(r(t)) · r'(t) dt
= ∫_0^1 (6t^2 sin(2t^3) - 12t^3 cos(2t^2) - 60t^5) dt

对于 ∫_0^1 6t^2 sin(2t^3) dt，可以进行变量代换 u = 2t^3，得到：

∫_0^1 6t^2 sin(2t^3) dt = ∫_0^2 sin(u) / (3u^(2/3)) du

这个积分没有解析解，需要使用数值积分方法进行计算。同理，对于 ∫_0^1 12t^3 cos(2t^2) dt 和 ∫_0^1 60t^5 dt，也可以进行变量代换和数值积分计算。

最终，可以得到线积分的近似计算值。

计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ − 5 sin x , 5 cos y , 10 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( − 2 t 3 , − t 2 , − 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

首先，我们需要计算参数化后的轨迹 $\vec{r}(t)=\langle -2t^3,-t^2,-3t\rangle$ 的切向量 $\vec{T}(t)$。

因为 $\vec{r}(t)$ 的每个分量都是关于 $t$ 的多项式，所以我们可以通过求导来得到 $\vec{T}(t)$：

$$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\langle -6t^2,-2t,-3\rangle$$

接下来，我们需要将 $\vec{F}$ 在 $\vec{T}(t)$ 上的投影作为被积函数，即 $F_{\parallel}=\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}$。

首先，我们需要计算 $\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}$：

$$\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}=\frac{\langle -6t^2,-2t,-3\rangle}{\sqrt{36t^4+4t^2+9}}$$

然后，我们需要计算 $\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}$：

$$\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}=\langle -5\sin(-2t^3),5\cos(-t^2),10(-2t^3)(-3t)\rangle\cdot\frac{\langle -6t^2,-2t,-3\rangle}{\sqrt{36t^4+4t^2+9}}$$

化简上式，得到：

$$\vec{F}\cdot\frac{\vec{T}}{||\vec{T}||}=-30t^2\sqrt{36t^4+4t^2+9}$$

现在，我们可以计算线积分：

$$\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{T}(t)dt=\int_{0}^{1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\frac{\vec{T}(t)}{||\vec{T}(t)||}||\vec{T}(t)||dt=\int_{0}^{1}F_{\parallel}||\vec{T}(t)||dt$$

代入 $F_{\parallel}$ 和 $||\vec{T}(t)||$ 的表达式，得到：

$$\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}-30t^2(36t^4+4t^2+9)dt=-\frac{115}{7}$$

因此，线积分的值为 $-\frac{115}{7}$。