计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ 3 sin x , 2 cos y , 5 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( 2 t 3 , 3 t 2 , − 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

首先计算 C 的切向量和微元向量：

r'(t) = (6t^2, 6t, -3)

dr = r'(t)dt = (6t^2, 6t, -3)dt

然后将 F 和 dr 代入线积分的公式，得到：

∫ C F · dr = ∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt

将 F 和 r'(t) 代入，得到：

∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt = ∫0^1 ⟨3sin(2t^3), 2cos(3t^2), 15t^4⟩ · ⟨6t^2, 6t, -3⟩ dt

化简得到：

∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt = ∫0^1 (18t^2 sin(2t^3) + 12t cos(3t^2) - 45t^5) dt

对每一项分别进行积分，得到：

∫0^1 18t^2 sin(2t^3) dt = -3/2 cos(2t^3) |0^1 = -3/2(cos(2) - 1)

∫0^1 12t cos(3t^2) dt = 2 sin(3t^2) |0^1 = 2(sin(3) - 0)

∫0^1 -45t^5 dt = -9/2 |0^1 = -9/2

因此，

∫ C F · dr = -3/2(cos(2) - 1) + 2(sin(3) - 0) - 9/2 = -3/2cos(2) + 2sin(3) - 6