计算线积分 ∫ C x 4 z d s , 其中 C 是从 ( 0 , 1 , 2 ) 到 ( 6 , 4 , 6 ) 的直线段.

首先，我们需要确定参数方程，即 C 的表示形式。由于 C 是从 (0,1,2) 到 (6,4,6) 的直线段，可以将其表示为：

x = 6t
y = 1 + 3t
z = 2 + 2t

其中 0 ≤ t ≤ 1。

然后，我们需要计算路径元素 ds。路径元素 ds 可以表示为：

ds = sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2)

将参数方程代入上式得到：

ds = sqrt(36 + 9 + 4) dt = sqrt(49) dt = 7 dt

因此，线积分可以表示为：

∫ C x^4z ds = ∫0^1 (6t)^4 (2 + 2t) 7 dt

解出积分式得：

∫ C x^4z ds = 23552/5

因此，线积分的值为 23552/5。