计算线积分 ∫ C F ⋅ d r ∫CF⋅d r其中 F = ⟨ sin x , − 3 cos y , 5 x z ⟩ F=⟨sin⁡x,−3cos⁡y,5xz⟩， C C是方程为 r ( t ) = ( − 2 t 3 , 2 t 2 , 3 t ) r(t)=(−2t3,2t2,3t)的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 0≤t≤1。

首先，根据定义，线积分可以表示为：

∫ C F ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt

其中，a和b分别是参数t的取值范围，r(t)是轨迹C在参数t处的位置向量，r'(t)表示轨迹C在参数t处的切向量。

根据题意，有：

r ( t ) = ( − 2 t 3 , 2 t 2 , 3 t ) , r ′ ( t ) = ( − 6 t 2 , 4 t , 3 ) \mathbf{r}(t) = (-2t^3, 2t^2, 3t), \mathbf{r}'(t) = (-6t^2, 4t, 3)

因此，

F ( r ( t ) ) = ⟨ sin ( − 2 t 3 ) , − 3 cos ( 2 t 2 ) , 5 ( − 2 t 3 ) ( 2 t 2 ) ⟩ = ⟨ − sin ( 2 t 3 ) , − 3 cos ( 2 t 2 ) , − 20 t 5 ⟩ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle \sin(-2t^3), -3\cos(2t^2), 5(-2t^3)(2t^2) \rangle = \langle -\sin(2t^3), -3\cos(2t^2), -20t^5 \rangle

因此，线积分可以表示为：

∫ C F ⋅ d r = ∫ 0 1 ⟨ − sin ( 2 t 3 ) , − 3 cos ( 2 t 2 ) , − 20 t 5 ⟩ ⋅ ⟨ − 6 t 2 , 4 t , 3 ⟩ d t = ∫ 0 1 [ 12 t 2 sin ( 2 t 3 ) − 12 t cos ( 2 t 2 ) − 60 t 5 ] d t \begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_0^1 \langle -\sin(2t^3), -3\cos(2t^2), -20t^5\rangle \cdot \langle -6t^2, 4t, 3\rangle \, dt \\ &= \int_0^1 [12t^2\sin(2t^3) - 12t\cos(2t^2) - 60t^5] \, dt \end{aligned}

这个积分需要数值计算，可以使用计算器或数值积分方法进行估计。