计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ sin x , − 3 cos y , 5 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( − 2 t 3 , 2 t 2 , 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

根据线积分的定义，有：

∫C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt

其中，r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是曲线 C 上的参数方程，a 和 b 分别是参数 t 的起始值和终止值。

对于给定的曲线 r(t) = (-2t^3, 2t^2, 3t)，有：

r'(t) = (-6t^2, 4t, 3)

因此，有：

|r'(t)| = sqrt((6t^2)^2 + (4t)^2 + 3^2) = sqrt(36t^4 + 16t^2 + 9)

将 r(t) 带入 F 中，得到：

F(r(t)) = (sin(-2t^3), -3cos(2t^2), 5(-2t^3)(2t^2)) = (-sin(2t^3), -3cos(2t^2), -20t^5)

因此，有：

F(r(t)) · r'(t) = (-sin(2t^3), -3cos(2t^2), -20t^5) · (-6t^2, 4t, 3)
= 6t^2 sin(2t^3) - 12t^3 cos(2t^2) - 60t^5

因此，可以计算线积分：

∫C F · dr = ∫_0^1 F(r(t)) · r'(t) dt
= ∫_0^1 (6t^2 sin(2t^3) - 12t^3 cos(2t^2) - 60t^5) dt

对于 ∫_0^1 6t^2 sin(2t^3) dt，可以进行变量代换 u = 2t^3，得到：

∫_0^1 6t^2 sin(2t^3) dt = ∫_0^2 sin(u) / (3u^(2/3)) du

这个积分没有解析解，需要使用数值积分方法进行计算。同理，对于 ∫_0^1 12t^3 cos(2t^2) dt 和 ∫_0^1 60t^5 dt，也可以进行变量代换和数值积分计算。

最终，可以得到线积分的近似计算值。