计算矢量场 F = ⟨ 3 y , − 3 x ⟩ 沿顺时针的圆 x 2 + y 2 = 49 的线积分。 ∫ C F ⋅ d s =

首先需要参数化圆 C:

x = 7 cos(t)

y = 7 sin(t)

其中 0 ≤ t ≤ 2π。

对于沿顺时针的圆，参数方程应该是：

x = 7 cos(-t) = 7 cos(t)

y = 7 sin(-t) = -7 sin(t)

现在可以计算 F 在参数化圆 C 上的点积：

F · ds = ⟨3y, -3x⟩ · ⟨dx, dy⟩

= 3y dx - 3x dy

= 3(-7 sin(t)) (-7 sin'(t) dt) - 3(7 cos(t)) (7 cos'(t) dt)

= -42 sin(t) dt - 21 cos(t) dt

因此，线积分为：

∫CF · ds = ∫0^2π (-42 sin(t) dt - 21 cos(t) dt)

= -42 [cos(t)]0^2π - 21 [sin(t)]0^2π

= -42 (1 - 1) - 21 (0 - 0)

= 0

因此，矢量场 F = ⟨3y, -3x⟩ 沿顺时针的圆 x^2 + y^2 = 49 的线积分为 0。

相关问题

计算矢量场 F = ⟨ 9 y , − 9 x ⟩ 沿顺时针的圆 x 2 + y 2 = 81 的线积分。 ∫ C F ⋅ d s =

首先，我们需要将圆形参数化。可以使用极坐标来完成，即令 $x=9\cos t$，$y=9\sin t$，其中 $0 \leq t \leq 2\pi$。

然后，我们需要计算 $\vec{F}$ 在参数化后的圆上的切向量 $\vec{T}$。根据切向量的定义，$\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{dt}$，其中 $\vec{r}(t)=\langle 9\cos t, 9\sin t\rangle$。

因此，$\vec{T}(t)=\frac{d}{dt}\langle 9\cos t, 9\sin t\rangle =\langle -9\sin t, 9\cos t\rangle$。

现在，我们可以计算 $\vec{F} \cdot \vec{T}$ 在参数化后的圆上的值。根据定义，$\vec{F} \cdot \vec{T}=F_xT_x+F_yT_y$。

将 $\vec{F}$ 和 $\vec{T}$ 的分量代入上式得到：

$$\vec{F} \cdot \vec{T}=(9y)(-9\sin t)+(9x)(9\cos t)=-81\sin t\cos t+81\sin t\cos t=0$$

因此，$\vec{F}$ 沿着顺时针方向的圆线积分为零：

$$\int_{C}\vec{F} \cdot d\vec{s}=0$$

计算矢量场 F = ⟨ 7 y , − 7 x ⟩ 沿顺时针的圆 x 2 + y 2 = 16 的线积分。 ∫ C F ⋅ d s =

首先，我们需要将矢量场 F = ⟨ 7 y , − 7 x ⟩ 参数化，以便我们可以计算线积分。对于圆 x^2 + y^2 = 16，我们可以使用极坐标参数化：

x = 4 cosθ
y = 4 sinθ

其中，θ 的范围为 0 到 2π。

现在，我们可以计算 F 在这个参数化圆上的值：

F(4cosθ, 4sinθ) = ⟨ 7(4sinθ), − 7(4cosθ) ⟩ = ⟨ 28sinθ, − 28cosθ ⟩

为了计算线积分，我们需要计算 F · ds，其中 ds 是弧长元素。根据极坐标下的弧长元素公式，我们有：

ds = (dx^2 + dy^2)^(1/2) = 16^(1/2) dθ

因此，我们可以计算线积分：

∫ C F · ds = ∫ 0^2π ⟨ 28sinθ, − 28cosθ ⟩ · 16^(1/2) dθ
= 16^(1/2) ∫ 0^2π (-28cos^2θ - 28sin^2θ) dθ
= - 16^(1/2) ∫ 0^2π 28 dθ
= - 448π^(1/2)

因此，所求的线积分为 -448π^(1/2)。