计算矢量场 F = ⟨ 3 y , − 3 x ⟩ 沿顺时针的圆 x 2 + y 2 = 49 的线积分。 ∫ C F ⋅ d s =

首先需要参数化圆 C:

x = 7 cos(t)

y = 7 sin(t)

其中 0 ≤ t ≤ 2π。

对于沿顺时针的圆，参数方程应该是：

x = 7 cos(-t) = 7 cos(t)

y = 7 sin(-t) = -7 sin(t)

现在可以计算 F 在参数化圆 C 上的点积：

F · ds = ⟨3y, -3x⟩ · ⟨dx, dy⟩

= 3y dx - 3x dy

= 3(-7 sin(t)) (-7 sin'(t) dt) - 3(7 cos(t)) (7 cos'(t) dt)

= -42 sin(t) dt - 21 cos(t) dt

因此，线积分为：

∫CF · ds = ∫0^2π (-42 sin(t) dt - 21 cos(t) dt)

= -42 [cos(t)]0^2π - 21 [sin(t)]0^2π

= -42 (1 - 1) - 21 (0 - 0)

= 0

因此，矢量场 F = ⟨3y, -3x⟩ 沿顺时针的圆 x^2 + y^2 = 49 的线积分为 0。