计算线积分 ∫ C x 5 z d s , 其中 C 是从 ( 0 , 7 , 1 ) 到 ( 3 , 8 , 5 ) 的直线段.

线积分的计算公式为：∫C f(x,y,z)ds = ∫ab f(x(t),y(t),z(t)) ||r'(t)|| dt，其中r(t)=(x(t),y(t),z(t))是曲线C的参数方程，a和b是曲线C的参数区间。

首先可以求出参数方程r(t)=(3t,7+t,1+4t)，t∈[0,1]，则r'(t)=(3,1,4)。

因此 ∫C x^5z ds = ∫0^1 (3t)^5(1+4t) ||(3,1,4)|| dt = 12∫0^1 t^5(1+4t) dt = 12(1/6+4/7) = 712/35。

所以线积分的值为 712/35。

相关问题

计算线积分 ∫ C x 4 z d s , 其中 C 是从 ( 0 , 1 , 2 ) 到 ( 6 , 4 , 6 ) 的直线段.

首先，我们需要确定参数方程，即 C 的表示形式。由于 C 是从 (0,1,2) 到 (6,4,6) 的直线段，可以将其表示为：

x = 6t
y = 1 + 3t
z = 2 + 2t

其中 0 ≤ t ≤ 1。

然后，我们需要计算路径元素 ds。路径元素 ds 可以表示为：

ds = sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2)

将参数方程代入上式得到：

ds = sqrt(36 + 9 + 4) dt = sqrt(49) dt = 7 dt

因此，线积分可以表示为：

∫ C x^4z ds = ∫0^1 (6t)^4 (2 + 2t) 7 dt

解出积分式得：

∫ C x^4z ds = 23552/5

因此，线积分的值为 23552/5。

计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 其中 F = ⟨ sin x , − 3 cos y , 5 x z ⟩ ， C 是方程为 r ( t ) = ( − 2 t 3 , 2 t 2 , 3 t ) 的轨迹，且 0 ≤ t ≤ 1 。 ∫ C F ⋅ d r =

根据线积分的定义，有：

∫C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt

其中，r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是曲线 C 上的参数方程，a 和 b 分别是参数 t 的起始值和终止值。

对于给定的曲线 r(t) = (-2t^3, 2t^2, 3t)，有：

r'(t) = (-6t^2, 4t, 3)

因此，有：

|r'(t)| = sqrt((6t^2)^2 + (4t)^2 + 3^2) = sqrt(36t^4 + 16t^2 + 9)

将 r(t) 带入 F 中，得到：

F(r(t)) = (sin(-2t^3), -3cos(2t^2), 5(-2t^3)(2t^2)) = (-sin(2t^3), -3cos(2t^2), -20t^5)

因此，有：

F(r(t)) · r'(t) = (-sin(2t^3), -3cos(2t^2), -20t^5) · (-6t^2, 4t, 3)
= 6t^2 sin(2t^3) - 12t^3 cos(2t^2) - 60t^5

因此，可以计算线积分：

∫C F · dr = ∫_0^1 F(r(t)) · r'(t) dt
= ∫_0^1 (6t^2 sin(2t^3) - 12t^3 cos(2t^2) - 60t^5) dt

对于 ∫_0^1 6t^2 sin(2t^3) dt，可以进行变量代换 u = 2t^3，得到：

∫_0^1 6t^2 sin(2t^3) dt = ∫_0^2 sin(u) / (3u^(2/3)) du

这个积分没有解析解，需要使用数值积分方法进行计算。同理，对于 ∫_0^1 12t^3 cos(2t^2) dt 和 ∫_0^1 60t^5 dt，也可以进行变量代换和数值积分计算。

最终，可以得到线积分的近似计算值。