考虑矢量场 F ( x , y , z ) = ( 5 z + y ) i + ( 3 z + x ) j + ( 3 y + 5 x ) k 。假设C是从 ( 0 , 0 , 0 ) 到 ( 1 , 1 , 1 ) 的任意曲线 使用（a）来计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 。

根据线积分的定义，有：

∫C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt

其中，r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是曲线 C 上的参数方程，a 和 b 分别是参数 t 的起始值和终止值。

对于从 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 1) 的曲线 C，可以取参数方程为：

x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t

因此，有：

r(t) = (t, t, t)
r'(t) = (1, 1, 1)

将 r(t) 和 r'(t) 带入 F(r) 中，得到：

F(r(t)) = (5t + t)i + (3t + t)j + (3t + 5t)k
= 6ti + 4tj + 8tk

因此，有：

F(r(t)) · r'(t) = (6ti + 4tj + 8tk) · (1, 1, 1)
= 18t

因此，可以计算线积分：

∫C F · dr = ∫_0^1 F(r(t)) · r'(t) dt
= ∫_0^1 18t dt
= 9

因此，从 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 1) 的曲线 C 上，矢量场 F 的线积分为 9。