考虑矢量场 F ( x , y , z ) = ( 5 z + y ) i + ( 3 z + x ) j + ( 3 y + 5 x ) k 。求一个函数 f ，使得 F = ∇ f 和 f ( 0 , 0 , 0 ) = 0 。

首先，我们需要验证该矢量场 F 是一个保守场。通过计算该矢量场的旋度，可以得到：

rot(F) = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z) i + (∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x) j + (∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y) k
= 2i + 2j + 2k

由于旋度不为零，因此该矢量场 F 不是保守场。

因此，我们需要找到一个函数 f ，使得 F = ∇ f 。由于 F 的第一分量只与 z 和 y 相关，因此我们可以猜测 f 的形式为：

f(x, y, z) = g(z, y) + h(x, z)

其中，g 和 h 分别是 f 对 z 和 x 的偏导数，因此有：

∂f/∂z = 5z + y
∂f/∂y = 3z + x
∂f/∂x = 3y + 5x

对 ∂f/∂z 求偏导数，得到：

∂²f/∂z² = 5

对 ∂f/∂y 求偏导数，得到：

∂²f/∂y∂z = 1

对 ∂f/∂x 求偏导数，得到：

∂²f/∂x∂z = 0

由于 ∂²f/∂y∂z = ∂²f/∂z∂y，因此可以确定：

∂²f/∂y∂z = 1

对 ∂f/∂z 求积分，得到：

f(x, y, z) = 5/2 z² + yz + C1(y, x)

其中，C1 是 g 的不定积分关于 y 和 x 的函数。对 ∂f/∂x 求偏导数，得到：

∂f/∂x = 3y + 5x = ∂h/∂x

因此，可以确定：

h(x, z) = 5xz + C2(z)

其中，C2 是 h 的不定积分关于 z 的函数。将 f 和 h 带入 F 的表达式，得到：

F(x, y, z) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
= (5z + y)i + (3z + x)j + (3y + 5x)k
= (∂h/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
= (∂h/∂x + 3y)i + (3z + x)j + (5x + 5z + y)k

因此，有：

∂h/∂x + 3y = 3y + 5x
∂h/∂z = 5z + y

对 ∂h/∂x 求积分，得到：

h(x, z) = 5xz + 3xy + C3(z)

其中，C3 是 h 的不定积分关于 z 的函数。将 h 带入 F 的表达式，得到：

F(x, y, z) = (∂h/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
= (5z + 3y)i + (3z + x)j + (5x + 5z + y)k

因此，有：

C2(z) = 0
C3(z) = 5z²/2

因此，可以得到 f 的表达式为：

f(x, y, z) = 5/2 z² + yz + 3xy + 5xz

满足 F = ∇ f 。同时，由于 f(0, 0, 0) = 0，因此有：

C1(0, 0) = C2(0) = C3(0) = 0

因此，最终的函数 f 为：

f(x, y, z) = 5/2 z² + yz + 3xy + 5xz

满足 F = ∇ f 和 f(0, 0, 0) = 0。