考虑矢量场 F ( x , y , z ) = ( 3 z + 4 y ) i + ( 3 z + 4 x ) j + ( 3 y + 3 x ) k 。 a）求一个函数 f ，使得 F = ∇ f 和 f ( 0 , 0 , 0 ) = 0 。 f ( x , y , z ) = b）假设C是从 ( 0 , 0 , 0 ) 到 ( 1 , 1 , 1 ) 的任意曲线 使用（a）来计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 。

a）要使得 F = ∇ f，需满足 F 的旋度（curl）为零。即：

curl(F) = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k = 0

代入 F 的表达式，得到：

6i + 6j + 6k = 0

因此，函数 f(x,y,z) 可以是任何形如 f(x,y,z) = 3xz + 2yz + 2x^2 + 2y^2 + 3xy 的函数。其中常数项可以任选，为了满足 f(0,0,0) = 0，取常数项为0。

b）根据斯托克斯定理，线积分 ∫ C F · dr 等于 F 沿着 C 的环路积分对于 C 所包围的曲面 S 的通量积分。即：

∫ C F · dr = ∬ S curl(F) · dS

由于 curl(F) = 6i + 6j + 6k，且 S 是一个从 (0,0,0) 到 (1,1,1) 的正方体，因此有：

∬ S curl(F) · dS = 6 ∬ S dS = 6V

其中 V 是正方体的体积，即 V = 1。因此，线积分 ∫ C F · dr = 6。

相关问题

考虑矢量场 F ( x , y , z ) = ( 5 z + y ) i + ( 3 z + x ) j + ( 3 y + 5 x ) k 。求一个函数 f ，使得 F = ∇ f 和 f ( 0 , 0 , 0 ) = 0 。

首先，我们需要验证该矢量场 F 是一个保守场。通过计算该矢量场的旋度，可以得到：

rot(F) = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z) i + (∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x) j + (∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y) k
= 2i + 2j + 2k

由于旋度不为零，因此该矢量场 F 不是保守场。

因此，我们需要找到一个函数 f ，使得 F = ∇ f 。由于 F 的第一分量只与 z 和 y 相关，因此我们可以猜测 f 的形式为：

f(x, y, z) = g(z, y) + h(x, z)

其中，g 和 h 分别是 f 对 z 和 x 的偏导数，因此有：

∂f/∂z = 5z + y
∂f/∂y = 3z + x
∂f/∂x = 3y + 5x

对 ∂f/∂z 求偏导数，得到：

∂²f/∂z² = 5

对 ∂f/∂y 求偏导数，得到：

∂²f/∂y∂z = 1

对 ∂f/∂x 求偏导数，得到：

∂²f/∂x∂z = 0

由于 ∂²f/∂y∂z = ∂²f/∂z∂y，因此可以确定：

∂²f/∂y∂z = 1

对 ∂f/∂z 求积分，得到：

f(x, y, z) = 5/2 z² + yz + C1(y, x)

其中，C1 是 g 的不定积分关于 y 和 x 的函数。对 ∂f/∂x 求偏导数，得到：

∂f/∂x = 3y + 5x = ∂h/∂x

因此，可以确定：

h(x, z) = 5xz + C2(z)

其中，C2 是 h 的不定积分关于 z 的函数。将 f 和 h 带入 F 的表达式，得到：

F(x, y, z) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
= (5z + y)i + (3z + x)j + (3y + 5x)k
= (∂h/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
= (∂h/∂x + 3y)i + (3z + x)j + (5x + 5z + y)k

因此，有：

∂h/∂x + 3y = 3y + 5x
∂h/∂z = 5z + y

对 ∂h/∂x 求积分，得到：

h(x, z) = 5xz + 3xy + C3(z)

其中，C3 是 h 的不定积分关于 z 的函数。将 h 带入 F 的表达式，得到：

F(x, y, z) = (∂h/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
= (5z + 3y)i + (3z + x)j + (5x + 5z + y)k

因此，有：

C2(z) = 0
C3(z) = 5z²/2

因此，可以得到 f 的表达式为：

f(x, y, z) = 5/2 z² + yz + 3xy + 5xz

满足 F = ∇ f 。同时，由于 f(0, 0, 0) = 0，因此有：

C1(0, 0) = C2(0) = C3(0) = 0

因此，最终的函数 f 为：

f(x, y, z) = 5/2 z² + yz + 3xy + 5xz

满足 F = ∇ f 和 f(0, 0, 0) = 0。

考虑矢量场 F ( x , y , z ) = ( 5 z + y ) i + ( 3 z + x ) j + ( 3 y + 5 x ) k 。假设C是从 ( 0 , 0 , 0 ) 到 ( 1 , 1 , 1 ) 的任意曲线 使用（a）来计算线积分 ∫ C F ⋅ d r 。

根据线积分的定义，有：

∫C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt

其中，r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是曲线 C 上的参数方程，a 和 b 分别是参数 t 的起始值和终止值。

对于从 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 1) 的曲线 C，可以取参数方程为：

x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t

因此，有：

r(t) = (t, t, t)
r'(t) = (1, 1, 1)

将 r(t) 和 r'(t) 带入 F(r) 中，得到：

F(r(t)) = (5t + t)i + (3t + t)j + (3t + 5t)k
= 6ti + 4tj + 8tk

因此，有：

F(r(t)) · r'(t) = (6ti + 4tj + 8tk) · (1, 1, 1)
= 18t

因此，可以计算线积分：

∫C F · dr = ∫_0^1 F(r(t)) · r'(t) dt
= ∫_0^1 18t dt
= 9

因此，从 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 1) 的曲线 C 上，矢量场 F 的线积分为 9。