傅里叶变换的对偶性质

傅里叶变换是一种数学工具，它将时间域或空间域中的信号转换到频率域，反之亦然。傅里叶变换有几种重要的对偶性质：

1. **幅度对称性和相位反转** (Conjugate symmetry): 对于实数函数，其幅度谱是对称的，即\( \mathcal{F}\{x(t)\} \)的幅度\( |X(f)| \)关于原点是对称的，而相位谱则是奇函数，相位在正负频率上反转。

2. **周期性和混频** (Periodicity and Frequency shifting): 如果原始信号是周期函数，那么其频谱也是周期性的；对于一个移位的信号\( x(t - t_0) \)，其频谱会在原频谱的基础上平移\( f_0 \)个单位，即\( X(f) = X(f - f_0) \)。

3. **卷积定理** (Convolution theorem): 函数的卷积在频域中对应于简单的乘法。如果\( x(t) \)和\( y(t) \)的傅里叶变换分别是\( X(f) \)和\( Y(f) \)，则它们卷积的结果\( z(t) = x(t) * y(t) \)的傅里叶变换是\( Z(f) = X(f)Y(f) \)。

4. **傅立叶逆变换** (Inversion property): 傅里叶变换的互逆性，\( \mathcal{F}\{\mathcal{F}\{x(t)\}\} = x(t) \)，意味着经过一次变换后回到原始信号。

相关问题

门函数的傅里叶变换对偶

### 门函数的傅里叶变换及其对偶性质

在信号处理领域，矩形脉冲（通常称为门函数或rect函数）是一个重要的基本概念。该函数定义如下：

对于时间域中的门函数 \( \text{rect}(t/T) \)，其表达式为：
\[
\text{rect}\left(\frac{t}{T}\right)=
\begin{cases}
1, & |t|< T/2 \\
0, & |t|\geqslant T/2
\end{cases}
\]

#### 傅里叶变换

门函数的傅里叶变换结果是sinc函数。具体来说，
\[
F\{\text{rect}(t)\}=Tsinc(fT),
\]
其中 sinc 函数由下式给出：
\[
sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}.
\]

此关系表明，在时域中有限宽度的脉冲对应于频域内的无限带宽分布。

#### 对偶特性

根据傅立叶变换理论中的对偶性原理，如果存在一对函数 \( f(t) \leftrightarrow F(jω) \)，那么也必然有另一对互相对应的关系成立：\( F(t) ↔ 2πf(-jω) \)[^4]。因此，

当考虑门函数与其对应的正弦卡特兰函数之间的映射时，可以得出结论说，频率域上的理想低通滤波器形状实际上就是原有时域内门函数形式经过适当缩放和平移后的版本；反之亦然。

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义参数
duration = 1.0    # 时间持续长度
fs = 1000         # 采样率 (Hz)

time = np.linspace(-duration / 2, duration / 2, int(duration * fs), endpoint=False)
freq = np.fft.fftfreq(len(time)) * fs

# 创建并绘制原始 rect 波形
rect_waveform = signal.boxcar(int(fs*duration))
plt.plot(time[:len(rect_waveform)//2], rect_waveform[:len(rect_waveform)//2])
plt.title('Rect Function')
plt.xlabel('Time [seconds]')
plt.ylabel('Amplitude')

# 计算 FFT 并绘制幅度谱图
fft_result = abs(np.fft.fftshift(np.fft.fft(rect_waveform)))
plt.figure()
plt.plot(freq[freq.size//2:], fft_result[freq.size//2:])
plt.title('Fourier Transform of Rect Function')
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.ylabel('|X(f)|')

plt.show()