平板泊肃叶流动 python

### 平板泊肃叶流动的Python仿真

#### 1. 导入必要的库
为了实现平板泊肃叶流体动力学仿真，首先需要导入一些常用的科学计算库。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.sparse import diags
from scipy.linalg import solve_banded

这些库提供了矩阵运算、绘图等功能，有助于构建和可视化仿真模型[^1]。

#### 2. 定义物理参数
定义与泊肃叶流动相关的物理常量和边界条件：

L = 0.1          # 渠道长度 (m)
H = 0.01         # 渠道高度 (m)
rho = 1e3        # 流体密度 (kg/m³)
mu = 8.9e-4      # 动力粘度 (Pa·s)
dpdx = -1000     # 压力梯度 (Pa/m)

nx, ny = 50, 20  # 空间离散化点数
dx = L / nx      # x方向步长
dy = H / ny      # y方向步长

上述设置适用于典型的水溶液在微通道内的流动情况。

#### 3. 构建差分方程
利用有限差分法近似求解纳维-斯托克斯方程中的速度场分布。对于稳态不可压缩牛顿流体，在二维情况下简化后的控制方程可表示为:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{1}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x} \]

将其转化为离散形式并建立线性代数方程组求解未知的速度节点值u[i,j]:

def build_matrix(ny):
    """构建五对角系数矩阵"""
    diagonals = [
        [-1]*ny,
        [2*(1+nu*dt/dx**2)]*ny,
        [-1]*ny
    ]
    A = diags(diagonals, offsets=[-1, 0, 1], shape=(ny, ny)).toarray()
    
    return A

A = build_matrix(ny)
b = dpdx * dy**2 / mu * np.ones((ny,))

这里`build_matrix()`函数负责组装用于迭代更新速度场的稀疏矩阵；而向量`b[]`则包含了源项信息。

#### 4. 解决线性系统获得速度剖面
通过调用SciPy提供的高效求解器来获取最终的结果：

U = solve_banded((1, 1), A, b)  # U即为我们所求的速度分布
Y = np.linspace(0, H, num=ny)
plt.plot(U, Y)
plt.xlabel('Velocity')
plt.ylabel('Height')
plt.title('Poiseuille Flow Velocity Profile')
plt.show()

此部分代码实现了对所得数据的图形展示功能，直观呈现了沿壁面到中心轴线处的速度变化趋势。