多机调度的分支限界法解空间

多机调度问题是指有n个作业需要在m台机器上完成，每个作业需要的时间不同，每台机器的处理速度也不同，如何安排作业的调度，使得所有作业完成时间最短。分支限界法是解决多机调度问题的一种有效方法。其解空间是一颗树形结构，每个节点表示一个可行的作业调度方案，根节点表示初始状态，叶子节点表示最终状态，中间节点表示未完成的作业调度方案。在分支限界法中，每个节点都有一个上界和下界，上界表示该节点的最优解，下界表示该节点的最优解的下限。通过计算每个节点的上下界，可以剪枝掉一些不可能成为最优解的节点，从而减少搜索空间，提高算法效率。具体来说，分支限界法的求解过程如下：
1. 将初始状态作为根节点，计算其上下界，并将其加入到优先队列中。
2. 从优先队列中取出上界最小的节点，如果该节点的上界小于当前最优解，则剪枝掉该节点，否则扩展该节点，生成其所有子节点，并计算它们的上下界，将它们加入到优先队列中。
3. 重复步骤2，直到找到最优解或者队列为空。
下面是一个简单的多机调度问题的分支限界法求解过程的示例：
假设有3个作业，需要在2台机器上完成，每个作业需要的时间分别为2、3、4，每台机器的处理速度分别为1、2。初始状态为所有作业未分配，即[1, 2, 3]。下面是求解过程：
1. 将初始状态[1, 2, 3]作为根节点，计算其上下界，上界为9（所有作业都在第一台机器上完成），下界为6（第一台机器上完成作业1和2，第二台机器上完成作业3）。
2. 从优先队列中取出上界最小的节点[1, 2, 3]，扩展该节点，生成其所有子节点[2, 3]和[1, 3, 2]，并计算它们的上下界，上界分别为8和9，下界分别为5和6。将它们加入到优先队列中。
3. 从优先队列中取出上界最小的节点[2, 3]，计算其上下界，上界为7（作业2和3在第一台机器上完成），下界为6（作业2在第一台机器上完成，作业3在第二台机器上完成）。由于上界小于当前最优解9，剪枝掉该节点。
4. 从优先队列中取出上界最小的节点[1, 3, 2]，计算其上下界，上界为8（作业1和3在第一台机器上完成），下界为7（作业1在第一台机器上完成，作业3在第二台机器上完成）。由于上界小于当前最优解9，剪枝掉该节点。
5. 从优先队列中取出上界最小的节点[1, 2]，计算其上下界，上界为6（作业1和2在第二台机器上完成），下界为5（作业1在第一台机器上完成，作业2在第二台机器上完成）。由于上界等于当前最优解，找到最优解[1, 2]，结束搜索。