2x1^2+5x1*x2+2x2^2+x1+2x2正交变换的二次型是正定的吗
时间: 2023-11-22 10:46:07 浏览: 32
首先,我们需要将给定的二次型进行标准化处理,即将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式。对于 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$,我们可以将其表示为向量和矩阵的乘积的形式:
$$
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 2
\end{pmatrix}
begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
$$
因此,我们可以得到 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$ 对应的矩阵为:
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 2
\end{pmatrix}
$$
接下来,我们需要判断矩阵 $A$ 是否正定。由于 $A$ 是一个对称矩阵,因此我们可以使用特征值来判断其正定性。计算矩阵 $A$ 的特征值,得到:
$$
\lambda_1 = \frac{9}{2}, \lambda_2 = \frac{3}{2}
$$
由于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 均为正数,因此矩阵 $A$ 是正定的,即原二次型 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$ 是正定的。
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2x1^2+5x1*x2+2x2^2+x1+2x2的二次型是凸的吗
根据二次型的定义,如果一个二次型是凸的,那么它的矩阵一定是正定的。而判断一个矩阵是否正定,可以通过其所有特征值的符号来判断。对于这个二次型,可以将其表示为向量x和矩阵A的乘积形式,即x^T * A * x,其中x = [x1, x2]。将系数代入矩阵A中,得到矩阵A为[[2, 5/2], [5/2, 2]]。通过计算矩阵A的特征值,可以得到λ1 = 7/2和λ2 = 3/2,都是正数,因此矩阵A是正定的,所以这个二次型是凸的。
x1^2+x2^2+2x3^2+2x1x2用正交变换法化为标准二次型
首先,我们需要将该二次型写成矩阵的形式:
Q = [1 1 0; 1 1 0; 0 0 2]
然后,我们对矩阵Q进行特征值分解,得到:
Q = PDP^-1
其中,D是特征值矩阵,P是特征向量矩阵。
特征值矩阵D为:
D = [0 0 0; 0 2 0; 0 0 2]
特征向量矩阵P为:
P = [1/√2 -1/√2 0; 1/√2 1/√2 0; 0 0 1]
然后,我们令:
y = Px
则:
y^TQy = x^TP^TQPx = x^T(D) x
化简得:
y1^2 + 2y2^2 + 2y3^2
因此,经过正交变换后,原二次型化为标准二次型为:
y1^2 + 2y2^2 + 2y3^2