2x1^2+5x1*x2+2x2^2+x1+2x2正交变换的二次型是正定的吗

首先，我们需要将给定的二次型进行标准化处理，即将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式。对于 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$，我们可以将其表示为向量和矩阵的乘积的形式：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 2
\end{pmatrix}
begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
$$
因此，我们可以得到 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$ 对应的矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 2
\end{pmatrix}
$$
接下来，我们需要判断矩阵 $A$ 是否正定。由于 $A$ 是一个对称矩阵，因此我们可以使用特征值来判断其正定性。计算矩阵 $A$ 的特征值，得到：
$$
\lambda_1 = \frac{9}{2}, \lambda_2 = \frac{3}{2}
$$
由于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 均为正数，因此矩阵 $A$ 是正定的，即原二次型 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$ 是正定的。