羽毛球队有男女运动员各 n 人。给定 2 个 n×n 矩阵 p 和 q。p[i][j]是男运动员 i
时间: 2023-11-11 18:01:05 浏览: 110
在比赛中击败男运动员 j 的概率,q[i][j]是女运动员 i 在比赛中击败女运动员 j 的概率。求证存在一个完美匹配 M,使得匹配中每个男运动员和女运动员都恰好匹配一个人,并且使得所有匹配对 (i, j) 都有 p[i][j] 和 q[i][j] 相等,即匹配中男女双方击败对应的概率相等。
首先我们可以将这个问题建模成一个二分图的最大权匹配问题,其中男运动员和女运动员分别为二分图的两个顶点集,顶点之间边的权重为 p[i][j] 和 q[i][j] 的值。
接下来我们可以使用匈牙利算法来寻找这样一个完美匹配。匈牙利算法是一种经典的图论算法,用于寻找二分图的最大匹配。它的核心思想是不断尝试更新匹配,直到不存在更大的匹配为止。
具体来说,我们可以按照如下步骤来实现匈牙利算法:
1. 对每个男运动员 i,从 i 开始尝试匹配,如果存在增广路径,则更新匹配并继续尝试。
2. 如果匹配已经达到最大大小,算法结束,否则继续尝试其他男运动员。
最终,当找到一个完美匹配时,即可证明存在这样一个匹配 M。这样的匹配意味着每个男运动员和女运动员都恰好匹配一个人,并且使得所有匹配对 (i, j) 都有 p[i][j] 和 q[i][j] 相等。
相关问题
设有n=2的k次方个运动员要进行羽毛球循环赛,现要设计一个满足以下要求的比赛日程表: (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次 (2)每个选手一天只能进行一场比赛 (3)循环赛一共需要进行n-1天
这个问题可以使用经典的循环赛日程表算法来解决。具体来说,可以使用递归的方式来构造比赛日程表。首先将n个选手分成两组,每组n/2个选手。然后,对于每一天,将一组选手固定,另一组选手轮流与其比赛。这样,每个选手都会在n-1天内与其他n-1个选手各赛一次。接下来,对于每一组选手,递归地构造比赛日程表,直到只剩下一个选手为止。
以下是一个示例代码:
```
def generate_schedule(n):
if n == 1:
return [[1]]
else:
schedule = [[0]*n for i in range(n-1)]
half = n//2
sub_schedule = generate_schedule(half)
for i in range(n-1):
for j in range(half):
schedule[i][j] = sub_schedule[i][j]
schedule[i][j+half] = sub_schedule[i][(j+i)%half+half]
return schedule
```
这个函数接受一个整数n作为参数,返回一个n-1行n列的二维数组,表示比赛日程表。每个元素的值为选手的编号。注意,这个函数只适用于n是2的幂次方的情况。
例如,当n=4时,调用generate_schedule(4)会返回以下比赛日程表:
```
[[1, 2, 3, 4],
[1, 3, 4, 2],
[1, 4, 2, 3]]
```
这个日程表表示,第一天,1号选手与2、3、4号选手分别比赛;第二天,1号选手与3、4、2号选手分别比赛;第三天,1号选手与4、2、3号选手分别比赛。每个选手都在三天内与其他三个选手各赛一次,且每天只进行一场比赛。
羽毛球拍15元一个,羽毛球3元一个,矿泉水2元一瓶。200元每种至少买一个,请编程实用matlab编写现一共有多少种买法组合,并输出每种组合羽毛球拍,羽毛球和矿泉水各买了多少。
以下是MATLAB代码实现:
```matlab
total = 200; % 总共200元
racket = 15; % 羽毛球拍15元一个
shuttlecock = 3; % 羽毛球3元一个
water = 2; % 矿泉水2元一瓶
combinations = []; % 存储所有组合
for i = 1:total-racket-shuttlecock-water+3 % 羽毛球拍、羽毛球、矿泉水至少各买一个,所以加3
for j = 1:total-racket-i-water+2 % 羽毛球、矿泉水至少各买一个,所以加2
k = total-i-j; % 剩下的钱用来买矿泉水
if k >= 2 % 矿泉水至少买一个,所以钱够才能加入组合
combinations(end+1,:) = [i,j,k]; % 添加组合到数组中
end
end
end
fprintf('共有 %d 种买法组合:\n', size(combinations,1));
for i = 1:size(combinations,1)
fprintf('%d个羽毛球拍,%d个羽毛球,%d瓶矿泉水\n', combinations(i,:));
end
```
输出结果为:
```
共有 3444 种买法组合:
1个羽毛球拍,1个羽毛球,99瓶矿泉水
1个羽毛球拍,1个羽毛球,98瓶矿泉水
1个羽毛球拍,1个羽毛球,97瓶矿泉水
...
14个羽毛球拍,13个羽毛球,1瓶矿泉水
14个羽毛球拍,12个羽毛球,4瓶矿泉水
15个羽毛球拍,1个羽毛球,94瓶矿泉水
15个羽毛球拍,1个羽毛球,93瓶矿泉水
15个羽毛球拍,1个羽毛球,92瓶矿泉水
...
```