极大似然估计推导交叉熵

极大似然估计和交叉熵之间存在密切的关系。在机器学习中，交叉熵通常被用作损失函数，用于衡量模型输出与真实标签之间的差异。下面我将简要介绍极大似然估计与交叉熵的推导过程。

假设我们有一组观测数据 {x₁, x₂, ..., xₙ}，这些数据是独立同分布的样本，我们希望用一个参数化的模型来描述这些数据。假设模型的参数为 θ，我们的目标是找到一个使得观测数据出现的概率最大化的参数值。

使用极大似然估计的思想，我们可以将观测数据出现的概率表示为一个关于参数 θ 的函数 L(θ)，即似然函数。我们的目标是最大化似然函数 L(θ)。

在分类问题中，我们常常使用概率分布来描述模型输出的结果，比如使用 softmax 函数将模型输出转化为概率分布。假设我们有 K 个类别，模型输出的概率分布为 p(y=k|x; θ)，其中 y 是真实标签。

那么对于观测数据 {x₁, x₂, ..., xₙ}，它们的联合概率可以表示为：
P(y₁, y₂, ..., yₙ|x₁, x₂, ..., xₙ; θ) = Πᵢ p(y=yᵢ|x=xᵢ; θ)

我们可以将这个联合概率视为一个关于参数 θ 的函数，记为 L(θ)。为了方便计算，我们可以取对数转换，得到对数似然函数：
log L(θ) = Σᵢ log p(y=yᵢ|x=xᵢ; θ)

最大化对数似然函数等价于最小化其相反数的平均值。因此，我们可以定义交叉熵损失函数作为目标函数：
J(θ) = -1/n Σᵢ log p(y=yᵢ|x=xᵢ; θ)

可以看出，交叉熵损失函数是对数似然函数的相反数的平均值。通过最小化交叉熵损失函数，我们实际上是在最大化观测数据出现的概率。

总结起来，极大似然估计和交叉熵之间的推导过程是将观测数据的联合概率转换为对数似然函数，再通过最小化相反数的平均值得到交叉熵损失函数。交叉熵损失函数在训练机器学习模型中被广泛使用，特别是在分类问题中。