小波分解和二进小波变换

### 小波分解与二进小波变换

#### 小波分解的概念
小波分解是一种多分辨率分析方法，能够将信号按照不同的尺度进行分解。这种特性使得小波变换特别适合于处理具有瞬态特征的非平稳信号，在多个领域有着广泛的应用[^1]。

#### 二进小波变换的概念
二进小波变换（Dyadic Wavelet Transform, DWT），也称为离散小波变换的一种形式，其特点是采用二进制比例因子来缩放和平移母小波函数。这意味着每次变换后的尺度会翻倍或减半，从而形成一系列不同分辨率下的信号表示。这种方法不仅简化了计算过程，还保持了良好的局部化性能[^2]。

#### 应用场景
- **图像压缩**：利用小波系数的能量集中特点去除冗余信息实现高效编码；
- **去噪处理**：基于阈值法对含噪声的小波域内数据实施滤波操作后再重构得到净化版原始信号；
- **边缘检测**：由于能捕捉到突变位置处的变化情况而被用于计算机视觉任务中的边界识别工作；

#### 实现方式
下面给出一段简单的 Python 代码示例展示如何使用 PyWavelets 库来进行一维和二维的数据小波变换：

import pywt
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt


def plot_signal_decomp(data, w, title):
    """Decompose and plot a signal using the given wavelet."""
    
    fig, axes = plt.subplots(len(w.dec_lo)+1, figsize=(8, 6))
    ax = axes[0]
    ax.set_title(title)
    ax.plot(data)

    for i in range(1, len(axes)):
        (data, coeff_d) = pywt.dwt(data, w)
        ax = axes[i]
        ax.plot(coeff_d[::-1])
        
    plt.tight_layout()
    

# Generate some sample data.
t = np.linspace(-1, 1, 200, endpoint=False)
sig  = np.cos(2 * np.pi * 7 * t) + np.real(np.exp(-7*(t-0.4)**2)*np.exp(1j*2*np.pi*2*t))

title = 'Signal Decomposition'
waveletname = 'db4'

plot_signal_decomp(sig, pywt.Wavelet(waveletname), title)


plt.show()

对于二维的情况，则可以通过 `pywt.wavedec2` 函数轻松完成图像或多通道音频文件等复杂结构对象上的相应转换任务。