利用粒子群算法进行选址

### 使用粒子群优化算法实现设施选址优化

#### 粒子群优化算法概述
粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟自然界中鸟群或鱼群等群体行为的优化算法[^1]。该方法通过模拟粒子在搜索空间中的移动和交互，以找到全局最优解。每个粒子都代表一个潜在的解，并根据自身的经验和群体中最佳粒子的经验不断更新自身的位置和速度。

#### 设施选址问题描述
设施选址问题是确定一组候选地点中最优的一个或多个人工设施的最佳位置，使得某些目标函数最小化或最大化。常见的目标包括成本最低、服务覆盖最广等。对于此类离散组合优化问题，PSO可以通过编码方式将其转化为连续变量问题进行求解。

#### 编码方案设计
为了应用PSO到具体的选址场景下，需要定义合适的编码机制：

- **粒子表示**：采用实数向量形式表示每一个可能的选择集合；例如，在n个备选地址里选取k处建立仓库，则可用长度为n的一维数组表示，其中只有对应被选中的索引位置标记为1其余全设成0。

- **边界条件设定**：考虑到实际地理分布情况以及资源约束等因素的影响，还需设置合理的上下限范围来限定各维度上的取值区间。

#### 初始化种群
创建初始种群时应确保多样性并均匀散布在整个可行域内，这有助于提高探索效率减少陷入局部极值的风险。具体做法如下所示：

% 参数初始化
numParticles = 50; % 种群规模
dim = length(candidateLocations); % 维度大小等于候选项数目
lb = zeros(1,dim); ub = ones(1,dim); % 定义每维坐标的合法界限
Vmax = (ub-lb)/2;

% 随机生成初代个体及其飞行速率
positions = lb + rand(numParticles,dim).*(ub-lb);
velocities = Vmax.*(rand(numParticles,dim)-0.5);

#### 更新规则制定
按照标准PSO流程迭代更新各个体的速度与位移直至满足终止准则为止。核心公式如下所列：
\[ v_{ij}(t+1)=w*v_{ij}(t)+c_1*rand()*(pbest_j-x_{ij})+c_2*rand()*(gbest_i-x_{ij}) \]
\[ x_{ij}(t+1)=x_{ij}+v_{ij}(t+1) \]

这里\( w \)是惯性权重因子用于平衡开发能力同探测力度间的关系；而 \( c_1,c_2 \)分别代表着认知成分和社会影响系数，它们共同决定了新旧经验对当前决策的作用程度。

#### 解码过程说明
由于最终目的是获得整型的结果序列即哪些地方应该设立站点，因此需将经过多轮演化后的浮点数值转换回二进制串再做进一步判断处理。一般而言当某分量大于预设阈值比如0.5就认为该项有效反之则舍弃掉。

#### MATLAB代码片段展示
下面给出一段简化版MATLAB程序框架供参考学习之用：

function [bestPosition,bestFitnessValue]=facilityLocationPSO()
    maxIter=100;
    numParticles=30;
    
    %% Initialize population and parameters...
    
    for iter=1:maxIter
        
        fitnessValues=zeros(size(positions,1),1);
        
        for i=1:numParticles
            
            decodedSolution=boolToIntVector(round(positions(i,:)));
            
            if isValid(decodedSolution)
                fitnessValues(i)=evaluateObjectiveFunction(decodedSolution);
                
                if fitnessValues(i)>personalBestScores(i)
                    personalBestPositions(i,:)=positions(i,:);
                    personalBestScores(i)=fitnessValues(i);
                    
                    if fitnessValues(i)>globalBestScore
                        globalBestPosition=positions(i,:);
                        globalBestScore=fitnessValues(i);
                    end
                    
                end
                
            end
            
        end
    
        %% Update velocity & position according to standard PSO equations ...
        
    end
    
end