牛顿迭代法求方程组 c语言程序

牛顿迭代法是一种数值优化技术，用于逼近函数零点，也适用于解非线性系统。在解决线性方程组时，通常使用高斯消元法或LU分解等直接方法更为高效。但对于大型、复杂或无封闭形式解的方程组，牛顿迭代法则更为常见。

在C语言中，我们可以采用迭代的方式实现牛顿迭代法。首先，我们需要计算雅可比矩阵（对应于方程组的导数），然后应用牛顿法的核心公式：

\[
\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - (\mathbf{J}(\mathbf{x}_n))^{-1} \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}_n)
\]

其中：
- \(\mathbf{x}_n\) 是当前的猜测解，
- \(\mathbf{J}(\mathbf{x}_n)\) 是在点\(\mathbf{x}_n\)处的雅可比矩阵，
- \(\mathbf{F}(\mathbf{x}_n)\) 是方程组对应的函数值向量。

以下是简单的C语言伪代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 方程组的函数定义
void func(double *x, double *res) {
    // 假设有一个包含两个方程的方程组
    res[0] = x[0] + x[1] - 1;
    res[1] = x[0] - x[1] - 2;
}

// 雅可比矩阵
void jacobian(double *x, double *jacob, double *grad) {
    jacob[0][0] = 1; jacob[0][1] = 1; // 对应于f(x,y)
    jacob[1][0] = 1; jacob[1][1] = -1; // 另一方程
    grad[0] = 1; grad[1] = -1; // 方程的梯度
}

// 牛顿迭代核心
double* newton_iteration(double *init_guess, int max_iter, double tol) {
    double *x_n = init_guess;
    double *new_x = (double*)malloc(sizeof(double) * init_guess[0]);
    double err;

    for (int i = 0; i < max_iter && err > tol; ++i) {
        // 计算F(x_n)
        double *res = (double*)malloc(sizeof(double) * 2);
        func(x_n, res);

        // 计算(J(x_n))^(-1) * F(x_n)
        double det, inv[2][2];
        jacobian(x_n, inv, res);
        det = inv[0][0] * inv[1][1] - inv[0][1] * inv[1][0];

        if (det == 0) {
            printf("Matrix is singular, cannot proceed.\n");
            free(new_x);
            return NULL;
        }
        new_x[0] = x_n[0] - (inv[0][0] * res[0] + inv[0][1] * res[1]) / det;
        new_x[1] = x_n[1] - (inv[1][0] * res[0] + inv[1][1] * res[1]) / det;

        // 更新误差
        err = sqrt(res[0]*res[0] + res[1]*res[1]);
        free(res);
        memcpy(x_n, new_x, sizeof(double) * 2);
    }

    return new_x;
}

int main() {
    // 初始化猜测解
    double init_guess[] = {0.5, 0.5};
    int max_iter = 100;
    double tol = 1e-6;

    double *solution = newton_iteration(init_guess, max_iter, tol);
    if (solution != NULL) {
        printf("Solution found after %d iterations: (%lf, %lf)\n", max_iter - 1, solution[0], solution[1]);
        free(solution);
    } else {
        printf("Failed to converge within the given iterations.\n");
    }

    return 0;
}

这个程序是一个简化的例子，实际使用时需要根据具体的方程组结构调整`func()`和`jacobian()`函数。同时注意处理矩阵运算可能导致的除数为零的情况。