若 γ为线性变换，且对任意的α∈V,(C,U), 都有||γ(α)||=l|α||.试证明γ为V (C,U)上的酉变换

根据引用[1]中的定义，线性变换 O: V → V 满足 O(x) = θ，其中 θ 是零向量。而引用中提到，任意的向量 η ∈ V 都可以用 α1, α2, ..., αn 的线性组合表示。现在我们来证明 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。

假设 γ 是线性变换，对于任意的 α ∈ V (C,U)，有 ||γ(α)|| = λ|α||，其中 λ 是一个实数。

首先，我们来证明 γ 是一个单位变换。即证明对于任意的 α ∈ V (C,U)，有 ||γ(α)|| = |α||。

根据线性变换的定义，我们有 γ(α) = λα。因此，||γ(α)|| = ||λα|| = |λ|||α||。

由于 ||γ(α)|| = λ|α||，所以 |λ|||α|| = λ|α||。由于 α ≠ θ，所以 |α|| ≠ 0。因此，我们可以得出 |λ| = 1，即 λ 是一个单位复数。

接下来，我们来证明 γ 是一个酉变换。即证明对于任意的 α, β ∈ V (C,U)，有 ⟨γ(α), γ(β)⟩ = ⟨α, β⟩。

根据线性变换的定义，我们有 γ(α) = λα 和 γ(β) = μβ，其中 λ 和 μ 是单位复数。

因此，⟨γ(α), γ(β)⟩ = ⟨λα, μβ⟩ = λ*μ*⟨α, β⟩。

由于 ||γ(α)|| = λ|α|| 和 ||γ(β)|| = μ|β||，所以 λ*μ = 1。

因此，⟨γ(α), γ(β)⟩ = λ*μ*⟨α, β⟩ = ⟨α, β⟩。

综上所述，我们证明了 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。