若 γ为线性变换，且对任意的α∈V,(C,U), 都有||γ(α)||=l|α||.试证明γ为V (C,U)上的酉变换

根据引用[1]中的定义，线性变换 O: V → V 满足 O(x) = θ，其中 θ 是零向量。而引用中提到，任意的向量 η ∈ V 都可以用 α1, α2, ..., αn 的线性组合表示。现在我们来证明 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。

假设 γ 是线性变换，对于任意的 α ∈ V (C,U)，有 ||γ(α)|| = λ|α||，其中 λ 是一个实数。

首先，我们来证明 γ 是一个单位变换。即证明对于任意的 α ∈ V (C,U)，有 ||γ(α)|| = |α||。

根据线性变换的定义，我们有 γ(α) = λα。因此，||γ(α)|| = ||λα|| = |λ|||α||。

由于 ||γ(α)|| = λ|α||，所以 |λ|||α|| = λ|α||。由于 α ≠ θ，所以 |α|| ≠ 0。因此，我们可以得出 |λ| = 1，即 λ 是一个单位复数。

接下来，我们来证明 γ 是一个酉变换。即证明对于任意的 α, β ∈ V (C,U)，有 ⟨γ(α), γ(β)⟩ = ⟨α, β⟩。

根据线性变换的定义，我们有 γ(α) = λα 和 γ(β) = μβ，其中 λ 和 μ 是单位复数。

因此，⟨γ(α), γ(β)⟩ = ⟨λα, μβ⟩ = λ*μ*⟨α, β⟩。

由于 ||γ(α)|| = λ|α|| 和 ||γ(β)|| = μ|β||，所以 λ*μ = 1。

因此，⟨γ(α), γ(β)⟩ = λ*μ*⟨α, β⟩ = ⟨α, β⟩。

综上所述，我们证明了 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。

相关问题

若 γ为线性变换，且对任意的α∈V,(C,U), 都有||γ(α)||=||α||.试证明γ为V (C,U)上的酉变换

根据引用[1]中的定义，线性变换 O: V → V 满足 O(x) = θ，其中 θ 是零向量。而引用中提到，任意的向量 η ∈ V 都可以用 α1, α2, ..., αn 的线性组合表示。现在我们来证明 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。

假设 γ 是线性变换，且对于任意的 α ∈ V (C,U)，都有 ||γ(α)|| = ||α||。

首先，我们证明 γ 是一个单位变换，即 γ(α) = α。

根据引用中的定义，任意的向量 η ∈ V 都可以用 α1, α2, ..., αn 的线性组合表示。那么对于任意的 α ∈ V (C,U)，我们有：

α = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn

其中 v1, v2, ..., vn 是 V (C,U) 的一组基向量。

由于 γ 是线性变换，我们有：

γ(α) = γ(α1v1 + α2v2 + ... + αnvn)

根据线性变换的性质，我们可以将 γ 移到每个向量上：

γ(α) = α1γ(v1) + α2γ(v2) + ... + αnγ(vn)

由于 γ(α) = α，我们可以得到：

α = α1γ(v1) + α2γ(v2) + ... + αnγ(vn)

根据向量的线性组合的唯一性，我们可以得到：

γ(v1) = v1
γ(v2) = v2
...
γ(vn) = vn

因此，我们证明了 γ 是一个单位变换。

接下来，我们证明 γ 是一个酉变换，即 γ 是一个保持内积不变的变换。

对于任意的 α, β ∈ V (C,U)，我们有：

⟨γ(α), γ(β)⟩ = ⟨α, β⟩

根据内积的定义，我们可以展开上述等式：

⟨γ(α), γ(β)⟩ = (γ(α))∗ · γ(β)

其中 (γ(α))∗ 表示 γ(α) 的共轭转置。

根据前面证明的 γ 是一个单位变换，我们有 γ(α) = α，因此上述等式可以简化为：

⟨α, γ(β)⟩ = α∗ · γ(β)

根据内积的定义，我们可以得到：

α∗ · γ(β) = α∗ · β

由于对于任意的 α ∈ V (C,U)，都有 ||γ(α)|| = ||α||，我们可以得到：

||γ(α)||^2 = ||α||^2

根据向量的模的定义，我们可以展开上述等式：

(γ(α))∗ · γ(α) = α∗ · α

根据前面证明的 γ 是一个单位变换，我们有 γ(α) = α，因此上述等式可以简化为：

α∗ · α = α∗ · α

因此，我们证明了 γ 是一个酉变换。

综上所述，我们证明了若 γ 为线性变换，且对任意的 α ∈ V (C,U)，都有 ||γ(α)|| = ||α||，则 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。

设α，β，γ线性无关，证明：α+β，β+γ，α+γ也线性无关

可以证明，假设存在不全为零的常数a,b,c，使得a(αβ)+b(βγ)+c(αγ)=0。则有：

aαβ+bβγ+cαγ=0

将αβ，βγ，αγ分别表示为两个向量的点积，即：

αβ=α·β，βγ=β·γ，αγ=α·γ

则上式可以表示为：

a(α·β)+b(β·γ)+c(α·γ)=0

由于α，β，γ线性无关，所以它们不在同一平面上，因此α·β，β·γ，α·γ也线性无关。因此，只有a=b=c=0才能使上式成立，即αβ，βγ，αγ也线性无关。证毕。