自适应 Kalman 滤波公式举例

自适应Kalman滤波是一种在线估计技术，它允许系统在运行过程中动态地调整滤波算法的参数，以更好地适应不断变化的环境。与传统的离线计算不同，自适应滤波通过统计学习方法更新其内部模型，通常用于处理噪声、模型不确定性等问题。

例如，假设我们有一个移动目标的位置跟踪问题，初始时我们可能只有一组简单的状态方程（如位置、速度作为状态变量）。传统Kalman滤波会使用固定的协方差矩阵来描述噪声特性。然而，在实际应用中，如果环境条件改变（如风速影响），噪声分布可能会发生变化。

在自适应Kalman滤波中，我们会引入自适应增益矩阵（如莱克龙菲茨卡尔文滤波器，Adaptive Kalman Filter），它可以根据实时观测数据动态调整。例如：

1. **预测步骤**：先基于当前状态估计预测下一个状态 `x_k|k-1` 和误差协方差 `P_k|k-1`。

   x_k|k-1 = F_k * x_{k-1}|k-1
   P_k|k-1 = F_k * P_{k-1}|k-1 * F_k^T + Q_k

2. **观测更新步骤**：然后根据测量值 `z_k` 更新状态和增益矩阵。自适应部分体现在这里，我们可以使用像最小二乘法或自适应最小均方误差算法（如EKF-Sigma Point Kalman Filter的交叉熵适应）来计算自适应增益 `K_k`：

   S_k = H_k * P_k|k-1 * H_k^T + R_k
   K_k = P_k|k-1 * H_k^T * inv(S_k)
   x_k|k = x_k|k-1 + K_k * (z_k - H_k * x_k|k-1)
   P_k|k = (I - K_k * H_k) * P_k|k-1

这里的 `H_k` 是模型到测量的转换矩阵，`Q_k` 和 `R_k` 分别表示过程噪声和测量噪声的协方差矩阵。