分层抽样比估计方差公式

分层抽样是一种统计抽样方法，它将总体分成几个独立的层次（或子群体），每个层次内部有相似的特征，然后在各个层次内分别抽取样本。相比于简单随机抽样，分层抽样的优势在于减少了误差，并且估计量的方差通常会更小。

对于分层抽样后的估计方差计算，一般涉及到以下步骤：

1. **确定每一层的方差**：首先，对每个层次内部的数据计算各自的变异系数，这是基于该层数据本身的方差。

2. **层间方差的考虑**：由于各层之间可能存在差异，所以需要估计层间的方差。这通常是通过估计量如层间变异系数来完成。

3. **总方差的计算**：总的方差由两部分组成，即层内方差和层间方差之和，公式可以表示为：
\[ Var(\hat{p}) = \sum_{i=1}^{k} (\frac{n_i}{n})^2 Var(X_i) + \left(\frac{\sum_{i=1}^{k}(n_i - 1)Var(Y_i)}{n-1}\right) \]
其中 \( k \) 是层数，\( n_i \) 是第 i 层的样本容量，\( \hat{p} \) 是总体比例的估计值，\( X_i \) 是第 i 层的样本比例，而 \( Y_i \) 是在每个层里抽到的个体变量。

4. **最后得到的标准误差**：标准误差是方差的平方根，用于衡量估计精度。

相关问题

R计算分层抽样的均值方差

在R语言中，分层抽样是一种统计采样技术，它将总体分成若干个层次，每个层次内部有其特定的特性或属性。当你需要对每一层的数据进行独立估计，或者各层数据之间的差异较大时，分层抽样非常有效。

如果你想计算分层抽样后的均值和方差，可以按照以下步骤操作：

1. **获取样本数据**：首先，你需要从每个层次中抽取代表性样本，这些数据通常保存在一个数据框（data frame）或其他适当的结构中。

2. **计算层内均值**：对于每层，使用`mean()`函数计算层内的平均值。例如，如果你有一个名为`df`的数据框，其中包含两列`layer`（表示层次）和`value`（数值变量），你可以这样做：

   mean_per_layer <- df %>% group_by(layer) %>% summarise(mean_value = mean(value))

3. **计算层内方差**：类似地，使用`var()`函数计算每个层次的方差：

   var_per_layer <- df %>% group_by(layer) %>% summarise(variance = var(value))

4. **加权均值与方差**：如果样本不是简单随机抽取，而是有分配权重（如比例权重），则需要用`weighted.mean()`和`weighted.var()`代替上述函数，并传入相应的权重列。

5. **总体均值和方差**：如果已知各层的样本量，可以用层内均值乘以样本量再求总和得到总体均值；同样，用层内方差加上层间差异（比如标准误差的平方）乘以样本量的平方，然后除以样本总数，来估计总体方差。

注意，在实际应用中，这些只是基本思路，具体的公式可能会因为实际情况有所不同。记得检查你的数据是否满足分层抽样的假设，以及是否需要对缺失值、异常值等进行处理。

1．考虑积分I=∫_(-1)^1▒e^sinx dx (1) 用平均值法、重要抽样法、分层抽样法、控制变量法、对立变量法估计积 分I 的值，给出各种方法的算法流程。

1. 平均值法：

算法流程：

(1) 计算被积函数 $f(x) = e^{sin(x)}$ 在区间 [-1, 1] 上的平均值 $M$，即 $M = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) dx$。

(2) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx 2M$。

具体地，我们可以使用复合求和公式计算平均值 $M$，例如

$$M = \frac{1}{2n}\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(-1 + \frac{i+0.5}{n}\right)$$

其中 $n$ 是取样点数。

2. 重要抽样法：

算法流程：

(1) 设 $g(x)$ 是一个已知的概率密度函数，且在区间 [-1, 1] 上非零。

(2) 生成 $n$ 个服从 $g(x)$ 分布的随机数 $X_1, X_2, \cdots, X_n$。

(3) 计算被积函数 $f(x) = e^{sin(x)}$ 在取样点 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 上的平均值 $M_n$，即

$$M_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} f(X_i)$$

(4) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx \frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f(X_i)}{g(X_i)}$。

具体地，我们可以选择正态分布、均匀分布、指数分布等作为 $g(x)$，并使用 Box-Muller 算法进行转换。

3. 分层抽样法：

算法流程：

(1) 将区间 [-1, 1] 划分为 $m$ 个子区间，每个子区间的长度为 $h = \frac{2}{m}$。

(2) 对每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$，生成 $n_i$ 个随机数 $X_{i,1}, X_{i,2}, \cdots, X_{i,n_i}$，其中 $x_{i-1} \le X_{i,j} \le x_i$。

(3) 计算被积函数 $f(x) = e^{sin(x)}$ 在每个子区间的取样点上的平均值 $M_i$，即

$$M_i = \frac{1}{n_i}\sum\limits_{j=1}^{n_i} f(X_{i,j})$$

(4) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx \frac{2}{m}\sum\limits_{i=1}^{m} M_i$。

4. 控制变量法：

算法流程：

(1) 假设存在一个函数 $g(x)$，满足 $g(x) \approx f(x)$，且 $g(x)$ 可以被积分。

(2) 选取一个随机变量 $Z$，使得 $Z$ 的期望 $\mu_Z$ 和方差 $\sigma_Z^2$ 已知。

(3) 生成 $n$ 个服从 $Z$ 分布的随机数 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$。

(4) 计算 $g(x)$ 在取样点 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 上的平均值 $M_n$ 和 $Z$ 在取样点 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 上的平均值 $N_n$。

(5) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f(X_i) - g(X_i)}{P(Z_i \le X_i)} + \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} g(X_i) + \frac{\mu_Z}{n} \left(2M_n - \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} g(X_i)\right)$，其中 $P(Z_i \le X_i)$ 是 $Z_i$ 小于等于 $X_i$ 的概率。

5. 对立变量法：

算法流程：

(1) 将积分区间 [-1, 1] 分成两个子区间 $[-1, 0]$ 和 $[0, 1]$。

(2) 对每个子区间，选取一个函数作为对立变量 $g(x)$，满足 $g(x) \approx f(x)$，且 $g(x)$ 可以被积分。

(3) 对每个子区间，生成 $n$ 个服从 $g(x)$ 分布的随机数 $X_{1,i}, X_{2,i}, \cdots, X_{n,i}$，其中 $i=1,2$。

(4) 计算 $f(x)$ 在取样点 $X_{1,i}, X_{2,i}, \cdots, X_{n,i}$ 上的平均值 $M_{i,n}$ 和 $g(x)$ 在取样点 $X_{1,i}, X_{2,i}, \cdots, X_{n,i}$ 上的平均值 $N_{i,n}$。

(5) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx N_{1,n} + N_{2,n} - M_{1,n} - M_{2,n}$。